Permutaciones- Álgebra Moderna

a) Verdadero. Una permutación es una aplicación biyectiva y por lo tanto es 1 a 1

b) Falso. Una función puede ser de un conjunto en otro distinto, una permutación debe ser de un conjunto sobre sí mismo. Si fuera de esa forma sería verdadero porque una función es una aplicación y una aplicación 1 a 1 de un conjunto sobre sí mismo es biyectiva.

c) Falso. Las funciones constantes por ejemplo no lo son.

d) Miralo tú, esa no es una pregunta matemática. No puedo ir página por página mirando, que con el ordenador se hace insufrible. Si has seguido el libro lo sabrás.

e) Verdadero. Los elementos del subconjunto seguiran teniendo la propiedad conmutativa en la operaciones entre sí.

f) Verdadero. El conjunto H = {a^n|a€G, nEZ} es un subgrupo. Lo dice en el teorema 3-2.

g) Falso. El grupo S10 tiene 10! = 3628800 elementos.

h) Falso. Los elementos de S3 son:
S3 = {e, (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)}
E solo genera e
Un 2-ciclo solo genera a si mismo y a la identidad
Un 3 ciclo genera a si mismo, el inverso y la identidad
Luego no hay ningún elemento que genere todo el grupo.

i) Verdadero
Para n=1 y n=2 es cíclico porque no le queda otro remedio para cumplir las obligaciones de ser grupo.
Para n >= 3 no es cíclico yal como demostrábamos en el apartado anterior.

Para n>4 tampoco es cíclico. Si fuese cíclico sería abeliano, pero esta operación:

(1,2)(1,2,3) = (1,3)
(1,2,3)(1,2) = (1)(2,3) = (2,3)

No es conmutativa en ningun Sn con n>=3

Luego Sn con n>=3 no es abeliano y por lo tanto no es cíclico.

j) Verdadero. Es lo que afirma al comenzar el capítulo 4 en la página 37. Pero la demostración no debe ser nada elemental, yo no la sé o no me acuerdo ahora mismo.

Y eso es todo.