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Imagino que llevarás es libro de álgebra abstracta de Fraleigh como todos los que me preguntan por estas cosas. También hubiera sido conveniente saber el capítulo por saber qué se puede emplear. Como no he encontrado este problema haré uso de todo el arsenal sobre los grupos abelianos del capítulo 9.
Todo grupo abeliano finito es isomorfo a un grupo que es el producto directo de grupos cíclicos de esta forma
$$G \sim Z_{p_1^{r_1}} \times Z_{p_2^{r_2}} \times···\times Z_{p_n^{r_n}}$$La verdad es que con tanto subíndice de subíndice o subíndice de superíndice de subíndice se verá algo. Cada grupo cíclico del producto directo tiene por orden un primo elevado a un exponente y el primo puede repetirse con el mismo o distinto exponente cuantas veces sea.
Asimismo, cuando los órdenes de dos grupos de estos son primos entre si, el grupo producto directo de esos dos cíclicos es isomorfo a un cíclico de orden el producto de los dos.
Entonces G será cíclico si en es descomposición que hemos hecho no se repite ningún primo y si se repite alguno no será cíclico
Supongamos que no es cíclico, entonces existe p primo tal que
$$\begin{align}&G \sim Z_{p^{r_1}} \times Z_{p^{r_2}} \times···\times Z_{p_n^{r_n}}\\ &\\ &\text{Supongamos } r_1 \le\ r_2\end{align}$$Los elementos de Zp^r1 x Zp^r2 tendrán orden p^r2 y su cantidad es p^(r1+r2). Si hacemos el producto directo de estos elementos con el elemento neutro de los otros cíclicos del producto tendremos que los elementos resultantes son del grupo isomorfo a G y tienen orden p^r2 y son p^(r1+r2). Pero entonces la ecuación:
x^[p^r2] = e
Tiene p^(r1+r2) soluciones al menos lo cual es contradictorio con el enunciado, luego no existe p repetido y eso implica que G es cíclico como ya se decía antes.
Y eso es todo.
