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La definición de gradiente es
$$\begin{align}&\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k\\ &\\ &\\ &\\ &f(x,y,z)=xe^{(-x^2-y^2-z^2)}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial x}=e^{(-x^2-y^2-z^2)}+x(-2x)e^{(-x^2-y^2-z^2)}=\\ &\\ &(1-2x^2)e^{(-x^2-y^2-z^2)}\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial y}=-2xye^{(-x^2-y^2-z^2)}\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial z}=-2xze^{(-x^2-y^2-z^2)}\\ &\\ &\\ &\text{Y el gradiente es}\\ &\\ &\nabla f=(1-2x^2)e^{(-x^2-y^2-z^2)}i-2xye^{(-x^2-y^2-z^2)}j-2xze^{(-x^2-y^2-z^2)}k =\\ &\\ &e^{(-x^2-y^2-z^2)}[(1-2x^2)i-2xy-2xz]\end{align}$$Y eso es todo.
valeroasm pero el gradiente que es, tiene alguna utilidad o se puede explicar de otro modo, en que otros casos se utiliza.
El gradiente es un vector. Aquel que tiene como componentes las derivadas parciales. Por eso lleva las letras i, j, k ya que es la suma de las derivadas parciales por los vectores unitarios del plano, espacio o hiperespacio que tengamos. Aunque también se podría representar como en álgebra con las componentes entre paréntesis separadas por comas, es ese tipo de notación más propio de la Física el que ha prevalecido.
Y tiene muchas aplicaciones. La más inmediata es la de calcular derivadas direccionales. Cuando cortamos la superficie z=f(x, y) con un plano vertical en el plano queda una curva y la derivada en ese plano es la derivada direccional. Pues con el gradiente, el cálculo de esas en apariencia complicadas derivadas se reduce a hacer el producto escalar del gradiente por el vector director del plano.
El gradiente te indica también la dirección en la cual crece más la función y el vector opuesto al gradiente es hacia donde crece menos. Es importante el gradiente, la verdad.
