Ejercicio de matemáticas: solución de sistemas, ¿Una única respuesta o infinitas?
Hola mira tengo un ejercicio que llevo dándole vueltas muchas veces y no consigo resolver.
Dado el sistema:
mx-y=1
x-my=2m-1
Busca m porque:
1.No tenga solución
2.Tenga infinitas soluciones
3.Tenga una única solución
4.tenga una solucions en que x=3
Gracias
Dado el sistema:
mx-y=1
x-my=2m-1
Busca m porque:
1.No tenga solución
2.Tenga infinitas soluciones
3.Tenga una única solución
4.tenga una solucions en que x=3
Gracias
1 Respuesta
Respuesta de jpenedol
1
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes (A) y el de la matriz de los coeficientes ampliada con los términos independientes (A ampliada):
Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden dar los siguientes casos:
Rango ( A ) = Rango ( A ampliada ) = nº de incógnitas
El sistema de ecuaciones es compatible determinado, tiene una única solución.
Rango ( A ) distinto Rango ( A ampliada )
El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solución.
Rango ( A ) = Rango ( A ampliada) < nº de incógnitas
El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.
En nuestro caso las matrices son:
m -1 ! 1
1 -m ! 2m-1
Cuando -m^2 + 1 = 0 ---> m = +- 1 el rango de A = 1, en este caso el rango de A ampliada también es = 1, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones.
Para cualquier otro valor de m, el sistema es compatible determinado con una única solución.
Para la solución concreta x= 3 obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
3m - y = 1
3 - my = 2m - 1
Resolvemos y obtenemos dos soluciones para m ---> m=1 (solución no válida porque en ese caso hay infinitas soluciones del sistema como analizamos anteriormente) y m= -4/3 valor para el cual hay una única solución del sistema original: x=3 e y=-5
Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden dar los siguientes casos:
Rango ( A ) = Rango ( A ampliada ) = nº de incógnitas
El sistema de ecuaciones es compatible determinado, tiene una única solución.
Rango ( A ) distinto Rango ( A ampliada )
El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solución.
Rango ( A ) = Rango ( A ampliada) < nº de incógnitas
El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.
En nuestro caso las matrices son:
m -1 ! 1
1 -m ! 2m-1
Cuando -m^2 + 1 = 0 ---> m = +- 1 el rango de A = 1, en este caso el rango de A ampliada también es = 1, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones.
Para cualquier otro valor de m, el sistema es compatible determinado con una única solución.
Para la solución concreta x= 3 obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
3m - y = 1
3 - my = 2m - 1
Resolvemos y obtenemos dos soluciones para m ---> m=1 (solución no válida porque en ese caso hay infinitas soluciones del sistema como analizamos anteriormente) y m= -4/3 valor para el cual hay una única solución del sistema original: x=3 e y=-5
He estado analizando y no veo de donde sale m=-4/3??
Saludos
Saludos
Para x=3 obtenemos el sistema
3m - y = 1
3 - my = 2m - 1
Despejamos y en la primera ecuación ---> y=3m-1
Sustituimos en la segunda---> 3-m(3m-1)=2m-1 ---> 3-3m^2+m=2m-1 --->
3m^2+m-4=0 ---> Ecuación de segundo grado de soluciones m=1; m=-8/6=-4/3
3m - y = 1
3 - my = 2m - 1
Despejamos y en la primera ecuación ---> y=3m-1
Sustituimos en la segunda---> 3-m(3m-1)=2m-1 ---> 3-3m^2+m=2m-1 --->
3m^2+m-4=0 ---> Ecuación de segundo grado de soluciones m=1; m=-8/6=-4/3
