Área de rectángulos y capacidad sobre un terreno
Hola!
No sé si podrías ayudarme en el siguiente problema:Un ganadero que cría caballos ha comprado 100m de vayas y quiere cercar un área rectangular para los caballos, ¿qué lados tendrá ese rectángulo para abarcar la máxima cantidad de terreno?
No sé si podrías ayudarme en el siguiente problema:Un ganadero que cría caballos ha comprado 100m de vayas y quiere cercar un área rectangular para los caballos, ¿qué lados tendrá ese rectángulo para abarcar la máxima cantidad de terreno?
Respuesta de espritdevi
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Es el típico problema de optimización de funciones. Sean por, y las longitudes de los lados del terreno. Queremos maximizar el área que encierra el rectángulo, es decir A=x·y
La restricción que nos dan es que el ganadero tiene 100m de valla, es decir que la suma de longitudes de los lados del rectángulo es 100: 2x+2y=100. Aislando y de esta ecuación: y=50-x, e introduciendo este valor en la expresión de area: A=x·(50-x)=50x-x^2. En definitiva, queremos maximizar la función f(x)=50x-x^2 en el intervalo [0,50] (esto es así porque la x no puede ser negativa (porque es una longitud) y porque si x fuese mayor de 50 la y debería ser negativa y eso tampoco puede ser. Ahora lo que queda ya simplemente es encontrar los candidatos a máximo absoluto de la función f(x) en el intervalo [0,50], y estos estarán en los puntos donde la derivada f'(x) sea 0 y en los extremos del intervalo. Miras los valores de f(x) en cada uno de esos puntos y te quedas con el máximo.
La restricción que nos dan es que el ganadero tiene 100m de valla, es decir que la suma de longitudes de los lados del rectángulo es 100: 2x+2y=100. Aislando y de esta ecuación: y=50-x, e introduciendo este valor en la expresión de area: A=x·(50-x)=50x-x^2. En definitiva, queremos maximizar la función f(x)=50x-x^2 en el intervalo [0,50] (esto es así porque la x no puede ser negativa (porque es una longitud) y porque si x fuese mayor de 50 la y debería ser negativa y eso tampoco puede ser. Ahora lo que queda ya simplemente es encontrar los candidatos a máximo absoluto de la función f(x) en el intervalo [0,50], y estos estarán en los puntos donde la derivada f'(x) sea 0 y en los extremos del intervalo. Miras los valores de f(x) en cada uno de esos puntos y te quedas con el máximo.
