¿Volumen mínimo?

La respuesta es a)
ecuacion gral de la esfera x^2+y^2+z^2=R^2
ecuacion gral del cilindro x^2+y^2=r^2
Como el cilindro esta inscrito en la esfera tenemos que los valores de por e y tienen que ser iguales en ambas ecuaciones lo que nos deja lo siguiente:
x^2+y^2+z^2=R^2
r^2+z^2=R^2
Ahora como tenemos que obtener el valor de la altura del cilindro dejamos que r debe estar en función de z, por lo tanto tenemos que:
r^2=R^2-z^2
ahora, sabemos que la ecuacion del volumen del cilindro es:
V=?*r^2*z
reemplazando
V=?*(R^2-z^2)*z
V=?*(R^2*z-z^3)
Ahora, como deseamos obtener un mínimo, debemos buscar los puntos críticos, derivamos e igualamos la derivada V'=0:
V'=0=?*(R^2-3z^2)
ahora despejamos z
|z|=R/sqrt(3)
Pero z es un valor tomado desde el origen del sistema coordenado, por lo tanto el valor de la altura h=2z, por lo tanto
h=2R/sqrt(3)
Observación:
¿Cuánto es el limite de? *r^2*h, cuando h tiende a 0?
Obviamente es 0
Por lo tanto si inscribimos un cilindro en una esfera con una altura muuuuuuuy cercana a 0 el volumen es prácticamente nulo, no se si formulaste mal la pregunta o algo, pero según mi criterio la respuesta no esta entre las alternativas.
Ahora bien, si utilizamos el criterio de la segunda derivada obtenemos que la segunda derivada en menor a cero, o bien, que el punto critico en un MÁXIMO RELATIVO.
En otras palabras, lo que acabamos de encontrar es la altura del cilindro con máximo volumen inscrito en una esfera.