¿Ecuaciones diferenciales?
Buenas tardes, podrían ser tan amables de indicarme por cual método puedo resolver estas ecuaciones diferenciales...
xy'= y In(x/y)
(y^2/1+x^2 - 2y)dx + (2y Arctanx - 2x + Senhy)dy=0
Gracias
xy'= y In(x/y)
(y^2/1+x^2 - 2y)dx + (2y Arctanx - 2x + Senhy)dy=0
Gracias
1 Respuesta
Respuesta de rubeneduardo
1
La primera la tengo clara te explico:
Debes hacer un cambio de variable x/y = u de donde x = uy donde dx = udy + ydu luego reemplazas en la ecuacion( recuerda y´= dy/dx ):
uydy= yln(u)dx luego uydy = yln(u)(udy+ydu) luego queda:
(uy - yuln(u))dy = y^2ln(u)du luego factorizo y(u-uln(u)).dy = y^2.ln(u).du
Separo variables y simplifico y me queda:
dy/y = ln(u)/(u-uln(u)) du esta integral aparentemente es dificil pero la acomodas asi:
ln(u)/u(1-ln(u) du y haces el cambio de variable t=ln(u) y la integral que queda es t.dt/(1-t) = -t + ln(1-t) luego vuelves a la variable original y queda -ln(u) + ln(1-ln(u)) que seria igual a ln(y) es decir:
ln(y) = -ln(u) + ln(1-ln(u)) + C puedes ponerlo asi ln(y) = ln((1-ln(u))/u) + C y queda asi:
y = ((1-ln(u))/u).e^C donde y= K.((1-ln(u))/u). donde K= e^C finalmente como u= x/y
y = k.(y.(1-ln(x/y))/x).
La otra ecuacion (y^2/(1+x^2) - 2y)dx + (2y Arctanx - 2x + Senhy)dy=0 no esta planteada asi no me quedo claro tu enunciado.
Espero tu respuesta y espero te sirva de algo la solución planteada
Debes hacer un cambio de variable x/y = u de donde x = uy donde dx = udy + ydu luego reemplazas en la ecuacion( recuerda y´= dy/dx ):
uydy= yln(u)dx luego uydy = yln(u)(udy+ydu) luego queda:
(uy - yuln(u))dy = y^2ln(u)du luego factorizo y(u-uln(u)).dy = y^2.ln(u).du
Separo variables y simplifico y me queda:
dy/y = ln(u)/(u-uln(u)) du esta integral aparentemente es dificil pero la acomodas asi:
ln(u)/u(1-ln(u) du y haces el cambio de variable t=ln(u) y la integral que queda es t.dt/(1-t) = -t + ln(1-t) luego vuelves a la variable original y queda -ln(u) + ln(1-ln(u)) que seria igual a ln(y) es decir:
ln(y) = -ln(u) + ln(1-ln(u)) + C puedes ponerlo asi ln(y) = ln((1-ln(u))/u) + C y queda asi:
y = ((1-ln(u))/u).e^C donde y= K.((1-ln(u))/u). donde K= e^C finalmente como u= x/y
y = k.(y.(1-ln(x/y))/x).
La otra ecuacion (y^2/(1+x^2) - 2y)dx + (2y Arctanx - 2x + Senhy)dy=0 no esta planteada asi no me quedo claro tu enunciado.
Espero tu respuesta y espero te sirva de algo la solución planteada
Si es como te mostré la ecuación se resuelve así:
asocias los terminos asi (y^2 dx/(1+x^2) + 2y.arctan(x)dy) -2 (xdy + ydx) + Senhy)dy=0
Como darctanx = 1/(1+x^2) se han formado en ambos terminos diferenciales exactos asi:
d(arctanx.y^2) - 2d(xy) +Senhy)dy=0 finalmente integras todo y queda:
arctanx.y^2 - 2x.y - Coshy =0 entonces:
y^2 = (2xy + Coshy)/arctanx y puedes dejarlo asi en forma implicita.
asocias los terminos asi (y^2 dx/(1+x^2) + 2y.arctan(x)dy) -2 (xdy + ydx) + Senhy)dy=0
Como darctanx = 1/(1+x^2) se han formado en ambos terminos diferenciales exactos asi:
d(arctanx.y^2) - 2d(xy) +Senhy)dy=0 finalmente integras todo y queda:
arctanx.y^2 - 2x.y - Coshy =0 entonces:
y^2 = (2xy + Coshy)/arctanx y puedes dejarlo asi en forma implicita.
