Ayuda ecuacion cuadratica

Con la primera, solo aplicamos la regla de la cadena apra derivar
f(x)= (e^2x/2) - (x/2)
Cuando derivamos un e^px queda la misma función, multiplicándose por la derivada del exponente, de esta manera:
f'(x)=e^2x*2/2-1/2
f'(x)=e^x-1/2
para hayar el el vertice de:
f(x)= x^2+2x, tienes que aplicar el criterio de la primera derivada
derivamos la funcion primero:
f'(x)=2x+2, ahora aplicando el criterio de la primera derivada, buscando los puntos criticos, esto se hace igualando la exprecion anterior a 0
f'(x)=0=2x+2, ya hora despejando encuentras en unico punto critico de la funcion
x=-1, por lo tanto el vertice vertice se encuentra en el punto cuando evaluas la funcion f en x=1, es decir
f(1)=1^2+2*(-1)=-1
por lo tanton el vertice esta en el punto (1,-1)
ahora, las raices, tienes que igualar la funcion f a 0, es decir:
f(x)=0=x^2+2x
        0=(x+2)*x
ahora, para que la funcion se a cero, basta con que o:
x+2=0 o x=0, por lo tanto, las raices son:
x=-2 y x=0
Si te queda alguna duda, solo pregunta