Ecuaciones diferenciales no homogéneas

Dado que se trata de una ecuación diferencial no homegénea la solución general vendrá dada por
Yg = Yh + Yp
Donde Yg significa solución general, Yh es la solución de la ecuación homogénea y Yp es una solución particular.
Reescribamos tu ecuación como Y'' + c1 Y' = -c2 x +c3
y llamemos f(x) = -c2 x + c3, por lo tanto Y'' + c1 Y' = f
El primer paso, pues, es resolver la ecuación homogénea:
Y'' + c1 Y' = 0
a^2 + c1 a = 0 --> a (a+c1) = 0 dos soluciones a=0 y a=-c1
y obtenemos como solución: Yh = k1 e^(0 x) + k2 e^(-c1 x) = k1 + k2 e^(-c1 x),
con k1 y k2 constantes.
Ésta era la parte fácil. La parte más difícil (larga) es encontrar la solución particular. Normalmente se hace utilizando el método de variación de parámetros:
Considera que tu solución particular tiene la forma Yp = K1(x) + K2(x) e^(-c1 x)
Se define el Wronskiano
                    |  F1     F2  |
W(F1,F2) =  |  F1'     F2' |    (es un determinante)
En tu caso F1 = e^(0 x) = 1
                  F2 = e^(-c1 x)
Entonces se cumple que
         |  0  F2   |
         |  f   F2'  |
K1' = ________    -------------> integramos K1' para hallar K1
            W(F1,F2)
         |  F1    0   |
         |  F1'    f   |
K2' = ________    -------------> integramos K2' para hallar K2
           W(F1, F2)
Si no me he equivocado en los cálculos has de obtener
K1 = -c2 / (2c1) * x^2 + c3/c1 * x
K2 = (c1 c2 x - c2 - c1 c3 ) e^(c1 x) / c1^3
y a partir de aquí el resto son cálculos para hallar Yp y después Yg.