Problema geometría
Hola tengo un problema urgente, a ver si me lo puede solucionar por favor:
a) Determinar si son secantes o no el plano ?? X - y+ z = 0 y la recta r determinada por los puntos P (1,1,0) y Q. (1,2,1)
b) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r del apartado anterior y al punto P(1,1,0).
c) ¿Hallar la ecuación del plano paralelo a? X - y + z = 0 y que pasa por el punto P(1,1,-1).
a) Determinar si son secantes o no el plano ?? X - y+ z = 0 y la recta r determinada por los puntos P (1,1,0) y Q. (1,2,1)
b) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r del apartado anterior y al punto P(1,1,0).
c) ¿Hallar la ecuación del plano paralelo a? X - y + z = 0 y que pasa por el punto P(1,1,-1).
1 respuesta
Respuesta de bolkarian
1
A)
Vamos a construir la recta r
Como es una recta en el espacio R3 vamos a utilizar la siguiente ecuación
(x-a1)/(a2-a1) = (y-b1)/(b2-b1) = (z-c1)/(c2-c1)
Te comento, los a1, a2, a3, b1, b2, b3 son las coordenadas de los puntos por donde quieres que pase la recta. P(a1,a2,a3) Q(b1,b2,b3).
Tomando P(1,1,0) y Q(1,2,1) en la ecuacion anterior obtenemos lo siguiente
(x-1)/(1-1)=(y-1)/(2-1)=(z-0)/(1-0)
Si aparece en un demonimador el (1-¿1) Y ahora que hacemos? No pasa nada es una ecuación de recta en la que la por puede tomar cualquier valor. Con lo que la ecuación de la recta se quedaría en
(y-1)=(z-1); y-z=0 "r":y-z=0
Bueno veamos como son...
Para eso tendremos que usas el vectro director de cada recta y un punto de ellas
de la recta "r" tenemos como punto ya usado el P(1,1,0) y vomo vector director Vp(0,1,1) que sale de Q-P, que es el vector PORQUE que son los denomiandores que hemos utilizado al buscar la ecuación.
De la otra recta tenemos que buscar 2 puntos M y N y con ellos construir otro vector director
x -y +z =0 M(1,0,-1) N(0,1,1) con estos dos puntos contruimos MN= N-M Vm(-1,1,2)
Bien con todo esto empezamos a discutir la posición de estas dos rectas
Primero veamo la proporcionalidad de Vp(0,1,1) y Vm (-1,1,2)coeficiente a coeficiente
0/-1, 1/1 , 1/2 no son proporcionales con lo que las rectas serán secantes o cruzadas
y ahora vamos a realizar un determinante con los siguiente elementos
Vp, Vm y MP= P-M=(0,1,1) |0 1 1 , -1 1 2 , 0 1 1|=|S|
|S|="como pudes obsrvar este determante es 0 por tener dos filas iguales"
Como es 0 son secantes. Si fuera distinto de cero serian cruzadas.
Como has visto no era necesario construir la recta r para solucionar el problema pero lo he añadido al principio para que te sirva de rapaso
B) Ecuacion del plano que contiene a "r" y al punto P (1,1,0)
Esto se resuelve con un determinante
Necesitamos un punto de la recta "r" por ejemplo el punto Q(1,2,1) que nos lo dan el A) el vetor director de la recta "r", que ya hemos construido en A) Vp(0,1,1)
Con el punto P que nos dan en este problema y el punto Q contruimos un nuevo vector que lo llamaremos Vq=PQ=Q-P=(1,1,0)
pues bien resolviendo el siguiente determinante queda resuelta la pregunta.
|x-1 y-1 z-0, 0 1 1 , 1 1 0|=0 en la primera linea aparece x,y,z menos la correspondientes coordenadas del punto P que nos dan para resolver el problema y las otras dos son las coordenadas de los vectores Vp y Vq correspondientemente.
Pues como decía resolviendo este determinante en funcio de x y z tenemos la ecuación del plano deseada.
y-z-x=0 es el resulatado del determinante y la solucion
C)para hallar la ecuacion de un plano paralelo a otro que pasa por un punto
la ecuacion general de un plano es de la forma Ax+By+Cz+D=0
El plano x-y+z=0 , A=1 B=-1 C=1 D=0, segun la forma general
Entoces cualquier plano paralelo a este debe ser de la forma x-y+z+D=0 con D distinto de cero, sino seria el mismo.
Sustituyamos el punto P(1,1,-1) en x-y+z+D=0 para saber el valor de D para hallar el plano que nos pide.
1-1-1+D=0; D=1 luego el plano que nos pide es x-y+z+1=0
Espero que te sirva de algo todo esto. Yo antes de copiarlo repasaría las cuentas por si las moscas.
Vamos a construir la recta r
Como es una recta en el espacio R3 vamos a utilizar la siguiente ecuación
(x-a1)/(a2-a1) = (y-b1)/(b2-b1) = (z-c1)/(c2-c1)
Te comento, los a1, a2, a3, b1, b2, b3 son las coordenadas de los puntos por donde quieres que pase la recta. P(a1,a2,a3) Q(b1,b2,b3).
Tomando P(1,1,0) y Q(1,2,1) en la ecuacion anterior obtenemos lo siguiente
(x-1)/(1-1)=(y-1)/(2-1)=(z-0)/(1-0)
Si aparece en un demonimador el (1-¿1) Y ahora que hacemos? No pasa nada es una ecuación de recta en la que la por puede tomar cualquier valor. Con lo que la ecuación de la recta se quedaría en
(y-1)=(z-1); y-z=0 "r":y-z=0
Bueno veamos como son...
Para eso tendremos que usas el vectro director de cada recta y un punto de ellas
de la recta "r" tenemos como punto ya usado el P(1,1,0) y vomo vector director Vp(0,1,1) que sale de Q-P, que es el vector PORQUE que son los denomiandores que hemos utilizado al buscar la ecuación.
De la otra recta tenemos que buscar 2 puntos M y N y con ellos construir otro vector director
x -y +z =0 M(1,0,-1) N(0,1,1) con estos dos puntos contruimos MN= N-M Vm(-1,1,2)
Bien con todo esto empezamos a discutir la posición de estas dos rectas
Primero veamo la proporcionalidad de Vp(0,1,1) y Vm (-1,1,2)coeficiente a coeficiente
0/-1, 1/1 , 1/2 no son proporcionales con lo que las rectas serán secantes o cruzadas
y ahora vamos a realizar un determinante con los siguiente elementos
Vp, Vm y MP= P-M=(0,1,1) |0 1 1 , -1 1 2 , 0 1 1|=|S|
|S|="como pudes obsrvar este determante es 0 por tener dos filas iguales"
Como es 0 son secantes. Si fuera distinto de cero serian cruzadas.
Como has visto no era necesario construir la recta r para solucionar el problema pero lo he añadido al principio para que te sirva de rapaso
B) Ecuacion del plano que contiene a "r" y al punto P (1,1,0)
Esto se resuelve con un determinante
Necesitamos un punto de la recta "r" por ejemplo el punto Q(1,2,1) que nos lo dan el A) el vetor director de la recta "r", que ya hemos construido en A) Vp(0,1,1)
Con el punto P que nos dan en este problema y el punto Q contruimos un nuevo vector que lo llamaremos Vq=PQ=Q-P=(1,1,0)
pues bien resolviendo el siguiente determinante queda resuelta la pregunta.
|x-1 y-1 z-0, 0 1 1 , 1 1 0|=0 en la primera linea aparece x,y,z menos la correspondientes coordenadas del punto P que nos dan para resolver el problema y las otras dos son las coordenadas de los vectores Vp y Vq correspondientemente.
Pues como decía resolviendo este determinante en funcio de x y z tenemos la ecuación del plano deseada.
y-z-x=0 es el resulatado del determinante y la solucion
C)para hallar la ecuacion de un plano paralelo a otro que pasa por un punto
la ecuacion general de un plano es de la forma Ax+By+Cz+D=0
El plano x-y+z=0 , A=1 B=-1 C=1 D=0, segun la forma general
Entoces cualquier plano paralelo a este debe ser de la forma x-y+z+D=0 con D distinto de cero, sino seria el mismo.
Sustituyamos el punto P(1,1,-1) en x-y+z+D=0 para saber el valor de D para hallar el plano que nos pide.
1-1-1+D=0; D=1 luego el plano que nos pide es x-y+z+1=0
Espero que te sirva de algo todo esto. Yo antes de copiarlo repasaría las cuentas por si las moscas.
