Desviación estándar y probabilidad de error
Buenas tardes, estoy intentando resolver el siguiente ejercicio, pero no veo la forma de enfocarlo, dice tal que así, ruego planteamiento de como resolverlo:
Se utiliza un amperímetro para medir una intensidad conocida de 100 Amperios, donde el 40% de las lecturas se encuentran dentro del intervalo correspondiente a 0,5 Amperios del valor real. Hallar:
- La desviación estándar del amperímetro
- ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error de 0,75 amperios?
Muchas gracias de antemano
Se utiliza un amperímetro para medir una intensidad conocida de 100 Amperios, donde el 40% de las lecturas se encuentran dentro del intervalo correspondiente a 0,5 Amperios del valor real. Hallar:
- La desviación estándar del amperímetro
- ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error de 0,75 amperios?
Muchas gracias de antemano
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1 respuesta
Respuesta de Fran José García
1
La solución es sencilla, nos dicen que se quiere medir una magnitud conocida de 100 amperios, y nos dan la información que el 40% de las mediciones se encentra en el intervalo 0.5 del valor real. Esto lo podemos escribir como una probabilidad, si llamamos POR = "intensidad en amperios", tenemos que
P[95.5 < X < 100.5] = 0.4
Es decir, la intensidad se encuentra entre +/-0.5 del valor real. El valor real sabemos que es 100, porque nos dicen "intensidad conocida de 100 amperios".
Ahora podemos definir otra variable que sea el error cometido en la medición definida como
(X - 100) = "error cometido en la medición", así la probabilidad es
P[95.5 - 100 < X - 100 < 100.5 - 100] = P[-0.5 < X - 100 < 0.5] = P[|X - 100| < 0.5] = 0.4
La forma de la última expresión nos recuerda a algo ¿verdad? A la desigualdad de Tchebychev, que nos dice que
P[|X - m| > k·s] < (1/k^2)
donde "m" es la media de la variable, y "s" la desviación típica.
Así tenemos que, en tu caso
P[|X - 100| > 0.5] = 0.6
donde k·s = 0.5 y
1/k^2 = 0.6
entonces tenemos que k = 1/raiz(0.6)
entonces
s = 0.5*raiz(0.6) = 0.6455
así ya tienes la desviación típica.
Ahora nos piden la probabilidad de cometer un error de 0.75 amperios. es decir
P[|X - 100| > 0.75] = ??
tenemos que averigual el valor de k
k·s = 0.75 y sabemos que s = 0.6455
entonces k = 0.75/0.6455 = 1.1619
entonces esa probabilidad vale
P[|X - 100| > 0.75] = 1/ 1.1619^2 = 0.7407
Un saludo. Cualquier cosa que no esté clara me lo dices.
P[95.5 < X < 100.5] = 0.4
Es decir, la intensidad se encuentra entre +/-0.5 del valor real. El valor real sabemos que es 100, porque nos dicen "intensidad conocida de 100 amperios".
Ahora podemos definir otra variable que sea el error cometido en la medición definida como
(X - 100) = "error cometido en la medición", así la probabilidad es
P[95.5 - 100 < X - 100 < 100.5 - 100] = P[-0.5 < X - 100 < 0.5] = P[|X - 100| < 0.5] = 0.4
La forma de la última expresión nos recuerda a algo ¿verdad? A la desigualdad de Tchebychev, que nos dice que
P[|X - m| > k·s] < (1/k^2)
donde "m" es la media de la variable, y "s" la desviación típica.
Así tenemos que, en tu caso
P[|X - 100| > 0.5] = 0.6
donde k·s = 0.5 y
1/k^2 = 0.6
entonces tenemos que k = 1/raiz(0.6)
entonces
s = 0.5*raiz(0.6) = 0.6455
así ya tienes la desviación típica.
Ahora nos piden la probabilidad de cometer un error de 0.75 amperios. es decir
P[|X - 100| > 0.75] = ??
tenemos que averigual el valor de k
k·s = 0.75 y sabemos que s = 0.6455
entonces k = 0.75/0.6455 = 1.1619
entonces esa probabilidad vale
P[|X - 100| > 0.75] = 1/ 1.1619^2 = 0.7407
Un saludo. Cualquier cosa que no esté clara me lo dices.
