Multiplicadores de Lagrange
Hola tengo este problema de mi materia de Calculo superior... Estamos viendo aplicaciones de multiplicadores de Lagrange...
Hallar el costo mínimo para producir 20 000 unidades de un producto donde "x" es el numero de unidades de trabajo ($48 por unidad) y "y" es el numero de unidades de capital ($36 por unidad) . C(x, y)= 100(x^0.6)·(y^0.4)
Hallar el costo mínimo para producir 20 000 unidades de un producto donde "x" es el numero de unidades de trabajo ($48 por unidad) y "y" es el numero de unidades de capital ($36 por unidad) . C(x, y)= 100(x^0.6)·(y^0.4)
1 respuesta
Respuesta de canalrev
1
En este caso queremos calcular los máximos de la función f(x,y)= 100(x^0.6)·(y^0.4) sobre el plano x+y=20000
Aplicando multiplicadores de lagrange
sea g(x,y,z)=x+y-20000
Tenemos el sistema que determina
gradiente de f=a·gradiente de g
g(x,y,z)=0
calculamos las derivadas parciales .
fx=60·x^(-0.4)·y^0.4 , gx=1
fy=40·x^0.6·y^(-0.6) , gy=1
De donde obtenemos el sistema
60·x^(-0.4)·y^0.4=c·1
40·x^0.6·y^(-0.6)=c·1
x+y=20000
Sustituyendo el valor de c de la 1ª ecuación en la segunda queda
60·x^(-0.4)·y^0.4=40·x^0.6·y^(-0.6)
pasando las x a la derecha y las y a la izquierda
60·y^0.6·y^0.4=40·x^0.6·x^0.4 ---> 60y=40x ---> y=2x/3
sustituyendo el la 3ª ecuación
x+2x/3=20000 ---> 5x/3=20000 ---> 5x=60000 ---> x=12000 --> y=8000
Aplicando multiplicadores de lagrange
sea g(x,y,z)=x+y-20000
Tenemos el sistema que determina
gradiente de f=a·gradiente de g
g(x,y,z)=0
calculamos las derivadas parciales .
fx=60·x^(-0.4)·y^0.4 , gx=1
fy=40·x^0.6·y^(-0.6) , gy=1
De donde obtenemos el sistema
60·x^(-0.4)·y^0.4=c·1
40·x^0.6·y^(-0.6)=c·1
x+y=20000
Sustituyendo el valor de c de la 1ª ecuación en la segunda queda
60·x^(-0.4)·y^0.4=40·x^0.6·y^(-0.6)
pasando las x a la derecha y las y a la izquierda
60·y^0.6·y^0.4=40·x^0.6·x^0.4 ---> 60y=40x ---> y=2x/3
sustituyendo el la 3ª ecuación
x+2x/3=20000 ---> 5x/3=20000 ---> 5x=60000 ---> x=12000 --> y=8000
