Despejar!
Hola Mike, quisiera por favor saber si pudieras darme una página web donde puedan explicar como "despejar" ecuaciones, o darme alguna referencia donde pudiera encontrar información acerca de despejes, muchas gracias!
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
No te había respondido pues he leído la respuesta que te había dado calvohernan, y lo cierto es que es bastante buena como para poder añadir algo nuevo, pero vamos a revisar otro ejemplo para comprobar que el estudio de las propiedades que se enuncian en la respuesta anterior son muy importantes, y entendiéndolas, veremos que la mayor parte de las operaciones matemáticas que usamos, existen sólo porque son útiles, mientras que otras veces no se pueden definir. Veremos un ejemplo con matrices posteriormente.
La base de todo desarrollo matemático es la igualdad, o sea
expresión1 = expresión2
Esto quiere decir, obviamente que la primera expresión es igual a la segunda. ¿Y qué podemos hacer con esto?. Pues absolutamente lo que nos de la gana, siempre y cuando respetemos la igualdad. Es decir, si a un lado sumamos un 3, al otro lado también. Si en un lado elevamos al cuadrado ( por ejemplo para quitar un raíz), en el otro hemos de hacer exactamente lo mismo. Además hay que hacerlo de la misma manera, si sumamos un 4 por la derecha, en el otro lado la suma hay que hacerla por la derecha.
Sea la ecuación
2*x + 1 = 7
En el momento que hacemos un cambio, todo lo anterior sigue estando junto, por eso hay que aislarlo con paréntesis, corchetes...
Sumamos -1 ( el inverso de 1 para la suma), a ambos lados
(2*x+1)+(-1) = 7 + (-1)
Debido a la asociativa y operando
2*x + [1+(-1)] = 6
2*x + 0 = 6
2*x = 6
Usando propiedades del elemento simétrico y neutro
Multiplicando por el inverso de 2 en el producto 2'=1/2
2'*(2*x) = 2'*6
Usando la asociativa del producto, inverso y neutro
(2'*2)*x = 3
1*x = 3
x=3, solución final
Veamos ahora cómo nos inventamos la división y veremos que sólo es posible debido a la conmutatividad del producto.
Sean las dos ecuaciones, siendo a y b dos números
a*x = b
a*2 = b
En ambos casos la solucion será
1º a*x = b
a'*(a*x) = a'*b
(a'*a)*x = a'*b
1*x = a'*b
x = a'*b
2º x*a = b
(x*a)*a' = b*a'
x*(a*a') = b*a'
x*1 = b*a'
x= b* a'
Pero como el producto es conmutativo, las dos soluciones son iguales
1º x = a'*b = 1/a * b
2º x = b*a' = b * 1/a
y nos inventamos la expresión
x = 1/a * b = b * 1/a = b/a
Ahora bien, ¿qué ocurriría si el producto de no fuera conmutativo?. Pues que a'b y b*a' no serían iguales, y la expresión b/a sería ambigua, pues no sabemos a cual se refiere.
Esto es lo que ocurre en el caso de las matrices.
La suma de matrices cumple las mismas propiedades que los números ( por eso se pueden restar), pero el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, con lo que no nos podemos inventar una división
Así, la ecuacion AX=B y XA=B,con A,B y X matrices tienen diferente solución X=A'B y X=BA'
Te dejo unas páginas sobre ecuaciones
http://lectura.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/curso2/htmlb/sec_49.html
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra5.htm
http://dc.inictel.gob.pe/proyectoteleed/curso-mat/Ecuac9-R/pagina1e.htm
La base de todo desarrollo matemático es la igualdad, o sea
expresión1 = expresión2
Esto quiere decir, obviamente que la primera expresión es igual a la segunda. ¿Y qué podemos hacer con esto?. Pues absolutamente lo que nos de la gana, siempre y cuando respetemos la igualdad. Es decir, si a un lado sumamos un 3, al otro lado también. Si en un lado elevamos al cuadrado ( por ejemplo para quitar un raíz), en el otro hemos de hacer exactamente lo mismo. Además hay que hacerlo de la misma manera, si sumamos un 4 por la derecha, en el otro lado la suma hay que hacerla por la derecha.
Sea la ecuación
2*x + 1 = 7
En el momento que hacemos un cambio, todo lo anterior sigue estando junto, por eso hay que aislarlo con paréntesis, corchetes...
Sumamos -1 ( el inverso de 1 para la suma), a ambos lados
(2*x+1)+(-1) = 7 + (-1)
Debido a la asociativa y operando
2*x + [1+(-1)] = 6
2*x + 0 = 6
2*x = 6
Usando propiedades del elemento simétrico y neutro
Multiplicando por el inverso de 2 en el producto 2'=1/2
2'*(2*x) = 2'*6
Usando la asociativa del producto, inverso y neutro
(2'*2)*x = 3
1*x = 3
x=3, solución final
Veamos ahora cómo nos inventamos la división y veremos que sólo es posible debido a la conmutatividad del producto.
Sean las dos ecuaciones, siendo a y b dos números
a*x = b
a*2 = b
En ambos casos la solucion será
1º a*x = b
a'*(a*x) = a'*b
(a'*a)*x = a'*b
1*x = a'*b
x = a'*b
2º x*a = b
(x*a)*a' = b*a'
x*(a*a') = b*a'
x*1 = b*a'
x= b* a'
Pero como el producto es conmutativo, las dos soluciones son iguales
1º x = a'*b = 1/a * b
2º x = b*a' = b * 1/a
y nos inventamos la expresión
x = 1/a * b = b * 1/a = b/a
Ahora bien, ¿qué ocurriría si el producto de no fuera conmutativo?. Pues que a'b y b*a' no serían iguales, y la expresión b/a sería ambigua, pues no sabemos a cual se refiere.
Esto es lo que ocurre en el caso de las matrices.
La suma de matrices cumple las mismas propiedades que los números ( por eso se pueden restar), pero el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, con lo que no nos podemos inventar una división
Así, la ecuacion AX=B y XA=B,con A,B y X matrices tienen diferente solución X=A'B y X=BA'
Te dejo unas páginas sobre ecuaciones
http://lectura.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/curso2/htmlb/sec_49.html
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra5.htm
http://dc.inictel.gob.pe/proyectoteleed/curso-mat/Ecuac9-R/pagina1e.htm
