¿Qué sucede con estas dos funciones cuyas gráficas representan una semicircunferencia ?

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Son dos funciones distintas, una es una función de R en R y la otra es una función de R en R^2. El que gráficamente tengan la misma representación no significa que sean iguales. En una la derivada es un número y en la otra un par de números, un vector.

Cuando en geometría proyectiva se quieren representar los puntos del infinito del plano proyectivo se hace uso de números de tres coordenadas cuya tercera coordenada es 0.

Aquí con los numeros de dos coordenadas cuya segunda coordenada es cero logras representar la recta proyectiva, siendo (k, 0) el punto del infinito de esta recta.

Precisamente la derivada en la función de R en R^2 en los puntos 0 y pi es (1, 0) y (-1,0) representantes del punto del infinito de la recta real proyectiva.

Luego si en vez de la función de R en R fuera la función de la recta real proyectiva en la recta real proyectiva no tendrías este problema.

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Y eso es todo.

¡Gracias! 

en realidad en el cuarto párrafo dan vectores (0,1) y (0,-1) de otra manera no serían tangentes en los extremos de la función.

Cambiando un poco de dirección a la pregunta... Esta pregunta surgió a raíz del cálculo de longitudes de arco, y no se puede emplear la primera función en la fórmula conocida por que no es de Clase 1. Pero si uno no toma en cuenta eso y simplemente reemplaza esta función R en R en la fórmula citada, obtiene la longitud de la mitad de la circunferencia. ¿A qué se debe esto? En muchas otras funciones R en R, funciona ese "método" de solo "reemplazar y ya". Me encantaría saber su opinión.

Saludos cordiales.

Veamos, la longitud del arco me media circunferencia será

$$\begin{align}&\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}dx=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\\&\\&arcsen x\bigg|_{-1}^1=\frac \pi 2+\frac \pi 2 = \pi\end{align}$$

Si lo hubieras querido hacer escrupulosamente sería

$$\begin{align}&l=\lim_{R\to 1-}\int_{R}^R \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}dx=\\&\\&\lim_{R\to 1-}\int_{R}^R \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\\&\\&\lim_{R\to 1-}  arcsen x\bigg|_{-R}^R=\frac \pi 2+\frac \pi 2 = \pi\end{align}$$

Simplemente hay veces que aunque la función se hace infinito la integral no se hace infinita.  Si has dado el tema de integrales impropias sabrás por ejemplo que las para las  funciones 1/x^n   la integral entre 0 y 1 es convergente si n>1 y divergente si  n<=1.  En las primeras la integral es un número finito y en las segundas es infinito.  Y la integral de 1/sqrt(1-x^2) entre -1 y 1 es convergente.

Respecto a lo anterior yo decia que los puntos de la recta real proyectiva tienen dos coordenadas y equivalen a

(a,b) ----> a/b si b<>0

(a, 0) ----> punto del infinito

Como el vector derivada que causa propblemas es el (0,1) la equivalencia sería

(a,b) ---> b/a  si a<>0

(0, b) ---> punto del infinito

Pero esto que estoy diciendo no es teoría del Cálculo, simplemente le he visto un poco de parecido y me ha parecido interesante contarlo.

Tu tienes que la derivada de la función de R en R es el cociente de la segunda componente entre la primera de la derivada de la función de R en R^2, pero es que cuando la primera componente es 0 no se puede hacer ese cociente.

¡Gracias! 

Claro haciendo uso de las integrales impropias es válido si uno se salta el teorema para hallar la longitud de curva. Es decir que la curva o su ecuación sea de clase 1, es condición suficiente pero no necesaria para utilizar la fórmula.

Me ha pasado algo similar, le pondré un ejemplo aunque parezca algo ingenuo.

Antes creía que si tenía una función, y la derivaba e igualaba a cero f'(x)=0 encontraba c para que cumpla f'(c)=0 entonces decía "c es un punto extremo"

Pero ahora sé que no es así necesariamente, espero que me deje entender.

Le digo esto porque no vaya a ser que exista una curva cuya ecuación sea y = f(x) continua en [a,b] y diferenciable en (a,b) pero no en x=a, ni en x=b, donde la longitud hallada por el simple reemplazo dé una mala respuesta.

En todo caso ¿conoce alguna fuente donde pueda hallar un enunciado más débil, que el teorema de hallar la longitud de una curva, con su respectiva demostración?

Le estaría infinitamente agradecido.

Que tenga buen día.

El teorema dice que la función y su derivada deben ser continuas en [a,b]

Con las integrales impropias calculabas la longitud de la circunferencia en intervalos [-1+h, 1-h] dentro de los cuales se cumple el teorema y calculabas la longitud como el límite de esa integral cuando h tiende a 0. Y si ese límite existe yo no veo ningún problema para asignar ese límite como la longitud de la circunferencia u otra función en ese intervalo, no existe ninguna otra longitud posible.

No conozco un teorema más débil, pero seguro que una función continua, monotona y acotada en un intervalo [a, b] tiene longitud, el problema es cuando no está acotada o cuando puede oscilar a velocidad cada vez mayor a medida que nos acercamos a un punto.

Muchísimas Gracias.

Yo también pensaba hacer algo así, es decir tomar un segmento [-1+e,1-e] dentro de (-1,1) con e-->0  en el que sí se pueda aplicar el teorema.

Creo que en el último parágrafo faltaba agregar que también sean diferenciables, por que sino uno podría pensar un fractal como el que construyó K. Weierstrass (por citar un ejemplo), Y si la curva es diferenciable entonces es rectificable.

Ojalá no aparezca otro Weierstrass que construya una curva acotada diferenciable en un intervalo abierto (a,b) pero no rectificable en uno cerrado [a,b], espero estar totalmente equivocado con respecto a esto último.

Que tenga buenos días.

Yo creo que continua, monotona y acotada pueden ser suficientes, la curva de Weierstrass no era monótona. La monotonía tiene muchas consecuencias voy a decir positivas. Y lo de continua lo dejo porque parece que no tenga sentido medir la longitud de algo partido en trozos, que si no me atrevería a dudar de su necesidad.