Matemáticas
Por favor
Calcular el volumen de la elipsoide
x^2/a + y^2/b^2+z^2/c^2
sugerencia : considere X= au
y= bv
z=cw
Calcular el volumen de la elipsoide
x^2/a + y^2/b^2+z^2/c^2
sugerencia : considere X= au
y= bv
z=cw
1 Respuesta
Respuesta de futuralter
1
Ahí creo que olvidate el ^2 para a
Siendo así es bien fácil, pero debes conocer el teorema del cambio de variable para justificarlo, ademas ahí mismo sugiere tal cambio
x=ua, y=vb, z=wc
Reescribiendo con las nuevas variables la ecuacion del elipsoide nos queda
(u^2*a^2/a^2)+(v^2*b^2/b^2)+(w^2*c^2/c. o bien, simplificando u^2+v^2+w^2=1
Con el cambio de variable, hemos transformado al elipsoide en una esfera de radio 1.
Necesitamos el jacobiano de dicha transformacion, el cual queda como:
j=(a 0 0)= abc
(0 b 0)
(0 0 c)
Entonces tenemos la (triple integral) "{ { { abc dw dv du" sobre la esfera de radio 1.
Esa integral se calcula fácilmente haciendo (precisamente) otro cambio de variable, o
sea, hacerlo en coordenadas esféricas, lo cual queda como
"2*{ { { abc r^2 sin(phi) dphi dr dth"
(el primer dos que aparece es por simetria)
0<=phi<=pi/2
0<=r<=1
0<=th<=2*pi
integrando queda 4/3*pi*a*b*c
Supongo que debes saber como integrar triplemente, es solo ir integrnado uno a uno cada símbolo de integral, claro esta que primero se empieza con las variables, hasta llegar a números
This is all,good luck
Siendo así es bien fácil, pero debes conocer el teorema del cambio de variable para justificarlo, ademas ahí mismo sugiere tal cambio
x=ua, y=vb, z=wc
Reescribiendo con las nuevas variables la ecuacion del elipsoide nos queda
(u^2*a^2/a^2)+(v^2*b^2/b^2)+(w^2*c^2/c. o bien, simplificando u^2+v^2+w^2=1
Con el cambio de variable, hemos transformado al elipsoide en una esfera de radio 1.
Necesitamos el jacobiano de dicha transformacion, el cual queda como:
j=(a 0 0)= abc
(0 b 0)
(0 0 c)
Entonces tenemos la (triple integral) "{ { { abc dw dv du" sobre la esfera de radio 1.
Esa integral se calcula fácilmente haciendo (precisamente) otro cambio de variable, o
sea, hacerlo en coordenadas esféricas, lo cual queda como
"2*{ { { abc r^2 sin(phi) dphi dr dth"
(el primer dos que aparece es por simetria)
0<=phi<=pi/2
0<=r<=1
0<=th<=2*pi
integrando queda 4/3*pi*a*b*c
Supongo que debes saber como integrar triplemente, es solo ir integrnado uno a uno cada símbolo de integral, claro esta que primero se empieza con las variables, hasta llegar a números
This is all,good luck
Si esperas hasta mañana en la tarde, lo hago en hoja, escaneo y dejo un enlace de imageshack, es decir en 15 horas, sino puntúa y finaliza
thanks for the exercise
Hermano yo entendí lo que hiciste lo que se me hace difícil es entender son limites como los obtuvistes, bueno si no es mucha molestia me gustaría que diseñara las gráficas en la hoja creo que yo lo voy a entender más ah y el jacobiano porque es de esa manera porque dentro de la matriz están a, b, c y no u, v, w ya que se había hecho el cambio de variable yo se que no es fácil explicar esto mediante escrituras pero son solo esas dudas, se lo agradecería mucho ...
Hermano yo entendí lo que hiciste lo que se me hace difícil es entender son limites como los obtuvistes, bueno si no es mucha molestia me gustaría que diseñara las gráficas en la hoja creo que yo lo voy a entender más ah y el jacobiano porque es de esa manera porque dentro de la matriz están a, b, c y no u, v, w ya que se había hecho el cambio de variable yo se que no es fácil explicar esto mediante escrituras pero son solo esas dudas, se lo agradecería mucho ...
Aquí el lick de la solución:
http://imageshack.us/photo/my-images/854/volumenelipsoide.jpg/
1-El jacobiano se calcula así, por derivadas parciales, si derivas lo que indica, así se obtiene solo a, luego b, y c
2-Para que se integre triplemente, esa es la forma de integrar(estructura), por haber hecho el cambio de variable
3-La transformación en coordenadas esféricas, es así, si elevas al cuadrado a cada ecuación y luego las sumas, veras que al sumar esos cuadrados obtienes el radio, el cual es 1
4-Nuevamente se calcula el jacobiano para este caso, es distinto en los valores y su calculo es escribir un poco, boring
5-Cuando se transforma a coordenadas esféricas, el gráfico es así, ahí se indica que, como ejemplo, una hoja de papel, considerar plano por y, entonces al atravesarlo con un lapicero, se genera el eje z, entonces es como si el lapicero estuviera partido a la mitad, po ahí esta lo que hice, por tal motivo duplico la nueva integral triple, porque solo así como esta se calcularía su mitad del volumen más no el total, y como es simétrico, solo basta multiplicar por 2
6-Phi, va desde el plano xy hasta el ejez, es decri desde cero hasta 90º=pi/2radian ;el radio po es obvio desde cero hasta 1, theta va en rotación, por lo tanto desde 0 a 2pi radian
7-De pasar a du dv dw a dphi dr d theta,solo basta derivar las igualdades :u=r*senphi *costheta,....................;asi al reemplazar ,solo quedara dphi dr dtheta
8-La nueva integral triple formada, posee esa estructura, solo queda calcularla, eso es fácil, como se sabe se agrupa una a una, y así se va desarrollando, manteniendo constante lo que no indique la diferencial:si integramos phi, solo integrar lo que posea a phi;r o theta quedan como constantes(un simple numero).. blah blah
This is all,good luck,puntua y finaliza
http://imageshack.us/photo/my-images/854/volumenelipsoide.jpg/
1-El jacobiano se calcula así, por derivadas parciales, si derivas lo que indica, así se obtiene solo a, luego b, y c
2-Para que se integre triplemente, esa es la forma de integrar(estructura), por haber hecho el cambio de variable
3-La transformación en coordenadas esféricas, es así, si elevas al cuadrado a cada ecuación y luego las sumas, veras que al sumar esos cuadrados obtienes el radio, el cual es 1
4-Nuevamente se calcula el jacobiano para este caso, es distinto en los valores y su calculo es escribir un poco, boring
5-Cuando se transforma a coordenadas esféricas, el gráfico es así, ahí se indica que, como ejemplo, una hoja de papel, considerar plano por y, entonces al atravesarlo con un lapicero, se genera el eje z, entonces es como si el lapicero estuviera partido a la mitad, po ahí esta lo que hice, por tal motivo duplico la nueva integral triple, porque solo así como esta se calcularía su mitad del volumen más no el total, y como es simétrico, solo basta multiplicar por 2
6-Phi, va desde el plano xy hasta el ejez, es decri desde cero hasta 90º=pi/2radian ;el radio po es obvio desde cero hasta 1, theta va en rotación, por lo tanto desde 0 a 2pi radian
7-De pasar a du dv dw a dphi dr d theta,solo basta derivar las igualdades :u=r*senphi *costheta,....................;asi al reemplazar ,solo quedara dphi dr dtheta
8-La nueva integral triple formada, posee esa estructura, solo queda calcularla, eso es fácil, como se sabe se agrupa una a una, y así se va desarrollando, manteniendo constante lo que no indique la diferencial:si integramos phi, solo integrar lo que posea a phi;r o theta quedan como constantes(un simple numero).. blah blah
This is all,good luck,puntua y finaliza
