Integrales calculo II

Sigamos con las integrales.
$[1/(2+senx)]dx=
Tras algunos trasteos infructuosos vamos con cambio que garantiza que nos va a quedar una integral racional. Es como una llave maestra, aunque no conviene su uso indiscriminado
tg(x/2) = t
No encuentro un buen articulo en internet donde explique que de ese cambio se deduce
senx = 2t / (1+t^2)
cosx = (1-t^2) / (1+t^2)
Si lo tienes en tu libro o apuntes mejor que mejor, porque con este editor es inútil intentar demostrarlo, farrogoso de escribir e incomprensible.
Eso, unido a
x = 2 · arctg x ==>
dx = 2dt/(1+t^2)
Hace que las integrales con expresiones simples del seno o el coseno se conviertan en racionales. Vamos ya con el ejercicio que servirá además como ejemplo
$[1/(2+senx)]dx = $ [1 / (2+(2t/(1+t^2)))]·2dt/(1+t^2) =
2$[1 / (1+t^2)] [1 / (2+2t^2+2t) / (1+t^2)] dt = $[1/(t^2+t+1)]dt =
Bueno, menos mal que en el numerador no hay término con t. Tenemos que amoldar el denominador para que desaparezca en término con t. Eso se hace de esta forma: Si el denominador es x^2+ bx + c lo igualamos a esto (x-(b/2))^2 + c-(b/2)^2
t^2+t+1 = (t+(1/2))^2 + 3/4
Y la integral ahora es
= $[1/((t+(1/2))^2 + 3/4)]dt =
que es una integral casi inmediata del tipo $[1/(t^2 +a^2)]dt = (1/a) arctg (t/a)
= (1/sqrt(3/4))arctg[(t+(1/2)) / sqrt(3/4)] + C =
= (2/3)sqrt(3)arctg[(2t+1) / sqrt(3)] =
deshacemos el cambio y queda
= (2/3)sqrt(3)arctg [2tg(x/2)/sqrt(3)] + C
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4) $cscxdx = $(1/senx)dx =
Hacemos el mismo cambio t = tg(x/2)
Por ser senx = 2t / (1+t^2) y también dx = 2dt/(1+t^2)
tenemos dx/senx = dt/t
= $dt/t = ln t + C = ln(tg(x/2)) + C