Integrale calculo II
Hola experto aki le tengo nuevo ejercicios $= integral
$dx/x^4-1
se lee integral de dx entre x elevado a la 4 menos 1
$1/3+cosx dx
Se lee integral de 1 entre 3 más cosx
espero su pronta respuesta gracias //
$dx/x^4-1
se lee integral de dx entre x elevado a la 4 menos 1
$1/3+cosx dx
Se lee integral de 1 entre 3 más cosx
espero su pronta respuesta gracias //
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
$dx/(x^4 -1)
Supongo que será de las difíciles, me ahorro intentar cambios de variable y voy directamente al método para las integrales racionales que consiste en descomponer esa fracción en la suma de otras más simples que sean directamente integrables.
Para ello hay que factorizar el denominador lo primero.
x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1) (x + 1)(x - 1)
La teoría dice que las fracciones a usar para este caso serán de la forma
(ax+b)/(x^2+1) + c/(x+1) + d(x-1)
Hagamos el algoritmo de la suma de fracciones. No iré arrastrando el denominador común que será:
(x^2 + 1) (x + 1)(x - 1) o lo mismo que es (x^4 - 1)
y el numerador, que es el que importa, será:
(ax+b) (x^2 - 1) + c(x^2 + 1)(x -1) + d(x^2 +1)(x+1) =
= ax^3 - ax + bx^2 - b +cx^3 - cx^2 + cx - c + dx^3 + dx^2 + dx + d =
= (a+c+d)x^3 + (b-c+d)x^2 + (-a+c+d)x + (-b-c+d) = 1
Sí, he puesto ese uno al final porque eso es lo que tiene que valer. Ya que el denominador es el mismo que en la expresión original, también debe serlo el numerador.
Tenemos una igualdad de polinomios, luego los coeficientes deben ser iguales monomio a monomio. En este caso todos los monomios con potencia de por tendrán coeficiente nulo. Todo esto que digo se traduce en estas cuatro ecuaciones lineales:
a + c + d = 0
b - c + d = 0
-a + c + d = 0
- b - c + d = 1
He puesto alinaeadas las incógnitas, ya verás como el editor las descoloca. ¡Cada día peor!
No voy a hacer el método de Gauss paso a paso, en parte por lo que te decía de la dificultadad de tabular las incógnitas en este editor. A vuela pluma tenemos:
De la primera y tercera a = 0 y c = -d
de la segunda y cuarta b = -1/2
de segunda y tercera d= 1/4 y c= -1/4
La descomposición es esta por lo tanto:
$dx/(x^4 - 1) = $[-(1/2) (1/(x*2+1)) - (1/4) (1/(x+1)) + (1/4) (1/(x-1))]dx =
-(1/2)arctg x - (1/4) ln(x+1) + (1/4) ln (x-1) + C=
- (arctg x) / 2 - [ln(x+1)] / 4 + [ln(x-1)] / 4 + C
Mando ya esto porque se me ha colgado varias veces el ordenador y tuve que volver a repetir e ir guardando de rato en rato. Así ya lo tienes seguro. La que queda la hago después, es complicada pero igual que otra que ya hice.
Supongo que será de las difíciles, me ahorro intentar cambios de variable y voy directamente al método para las integrales racionales que consiste en descomponer esa fracción en la suma de otras más simples que sean directamente integrables.
Para ello hay que factorizar el denominador lo primero.
x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1) (x + 1)(x - 1)
La teoría dice que las fracciones a usar para este caso serán de la forma
(ax+b)/(x^2+1) + c/(x+1) + d(x-1)
Hagamos el algoritmo de la suma de fracciones. No iré arrastrando el denominador común que será:
(x^2 + 1) (x + 1)(x - 1) o lo mismo que es (x^4 - 1)
y el numerador, que es el que importa, será:
(ax+b) (x^2 - 1) + c(x^2 + 1)(x -1) + d(x^2 +1)(x+1) =
= ax^3 - ax + bx^2 - b +cx^3 - cx^2 + cx - c + dx^3 + dx^2 + dx + d =
= (a+c+d)x^3 + (b-c+d)x^2 + (-a+c+d)x + (-b-c+d) = 1
Sí, he puesto ese uno al final porque eso es lo que tiene que valer. Ya que el denominador es el mismo que en la expresión original, también debe serlo el numerador.
Tenemos una igualdad de polinomios, luego los coeficientes deben ser iguales monomio a monomio. En este caso todos los monomios con potencia de por tendrán coeficiente nulo. Todo esto que digo se traduce en estas cuatro ecuaciones lineales:
a + c + d = 0
b - c + d = 0
-a + c + d = 0
- b - c + d = 1
He puesto alinaeadas las incógnitas, ya verás como el editor las descoloca. ¡Cada día peor!
No voy a hacer el método de Gauss paso a paso, en parte por lo que te decía de la dificultadad de tabular las incógnitas en este editor. A vuela pluma tenemos:
De la primera y tercera a = 0 y c = -d
de la segunda y cuarta b = -1/2
de segunda y tercera d= 1/4 y c= -1/4
La descomposición es esta por lo tanto:
$dx/(x^4 - 1) = $[-(1/2) (1/(x*2+1)) - (1/4) (1/(x+1)) + (1/4) (1/(x-1))]dx =
-(1/2)arctg x - (1/4) ln(x+1) + (1/4) ln (x-1) + C=
- (arctg x) / 2 - [ln(x+1)] / 4 + [ln(x-1)] / 4 + C
Mando ya esto porque se me ha colgado varias veces el ordenador y tuve que volver a repetir e ir guardando de rato en rato. Así ya lo tienes seguro. La que queda la hago después, es complicada pero igual que otra que ya hice.
Tendré que protestar a la web. Ya está mal que no tengamos editor de ecuaciones y algo para gráficos, como para que ahora al supuesto editor este le de por quitar los espacios sobrantes para que no podamos alinear expresiones (escritura natural de fracciones), mal hacer tablas, etc. ¡A donde vamos a llegar! ¡Pues hacemos la web solo para expertos de literatura y se acabó! Créeme que así se hace imposible, se hace más difícil la investigación para poder escribir que el resolver los problemas.
$1/3+cosx dx
Ojo con la escritura, lo que pone ahí es $[(1/3)+cos(x)] dx, la cual es inmediata: x/3 + senx.
Hay que escribir bien los paréntesis. Si no se escriben, la convención es operar primero las potencias, luego las multiplicaciones y divisiones, por fin las sumas y restas. Eso puede ser muy distinto de lo que quisimos escribir, como en este caso. Si ya se conocen los hábitos de la otra persona podemos relajar la escritura, pero si se escribe a alguien desconocido o la comunidad hay que seguir unas normas. Nunca estará mal escribir todos los paréntesis, así no se deja margen a la libre interpretación.
Pienso que lo que quieres decir es:
$[1/(3+cosx)]dx porque esa es la complicada.
Recuerdo que el cambio todoterreno para integrales con expresiones simples de senx y cosx es:
tg(x/2) = t
también te decía que se deducía, aunque era molesto demostrar con este "editor" que:
senx = 2t / (1+t^2)
cosx = (1-t^2) / (1+t^2)
x = 2 · arctg x ==> dx = 2dt/(1+t^2)
Con este cambio de variable tenemos:
$[1/(3+cosx)]dx = $[1/(3+ [1-t^2]/[1+t^2])] [2/(1+t^2)] dt =
$[1/([3+3t^2+1-t^2 ]/[1+t^2])] [2/(1+t^2)] dt =
simplificando el (1+t^2)
= $[1/[3+3t^2+1-t^2 ]] [2] dt = 2$[1/(2t^2+4)]dt = $[1/(t^2+2)]dt =
En mi libro, las integrales 1/(t^2 + a^2) son inmediatas y valen (1/a)arctg(t/a) + C, luego:
= (1/sqrt(2))arctg(t/sqrt(2)) + C
deshaciendo el cambio queda
= [1/sqrt(2)] arctg ([tg(x/2)]/[sqrt(2)]) +C =
Aprovecharemos las largas clases para racionalizar los denominadores, entonces:
= [sqrt(2)/2] arctg ([sqrt(2)/2][tg(x/2)]) + C
Puedes comprobar que está bien si derivas con cuidado y tienes en cuenta que
1+[(tg a)^2] = 1/[(cos a)^2] y que
[cos(a/2)]^2 = (1+ cos a) / 2
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas comprendido ya. No olvides puntuar para cerrar la pregunta. Puede que debajo del saludo aparezca algo de basura, pero el editor no me deja quitarla.
$1/3+cosx dx
Ojo con la escritura, lo que pone ahí es $[(1/3)+cos(x)] dx, la cual es inmediata: x/3 + senx.
Hay que escribir bien los paréntesis. Si no se escriben, la convención es operar primero las potencias, luego las multiplicaciones y divisiones, por fin las sumas y restas. Eso puede ser muy distinto de lo que quisimos escribir, como en este caso. Si ya se conocen los hábitos de la otra persona podemos relajar la escritura, pero si se escribe a alguien desconocido o la comunidad hay que seguir unas normas. Nunca estará mal escribir todos los paréntesis, así no se deja margen a la libre interpretación.
Pienso que lo que quieres decir es:
$[1/(3+cosx)]dx porque esa es la complicada.
Recuerdo que el cambio todoterreno para integrales con expresiones simples de senx y cosx es:
tg(x/2) = t
también te decía que se deducía, aunque era molesto demostrar con este "editor" que:
senx = 2t / (1+t^2)
cosx = (1-t^2) / (1+t^2)
x = 2 · arctg x ==> dx = 2dt/(1+t^2)
Con este cambio de variable tenemos:
$[1/(3+cosx)]dx = $[1/(3+ [1-t^2]/[1+t^2])] [2/(1+t^2)] dt =
$[1/([3+3t^2+1-t^2 ]/[1+t^2])] [2/(1+t^2)] dt =
simplificando el (1+t^2)
= $[1/[3+3t^2+1-t^2 ]] [2] dt = 2$[1/(2t^2+4)]dt = $[1/(t^2+2)]dt =
En mi libro, las integrales 1/(t^2 + a^2) son inmediatas y valen (1/a)arctg(t/a) + C, luego:
= (1/sqrt(2))arctg(t/sqrt(2)) + C
deshaciendo el cambio queda
= [1/sqrt(2)] arctg ([tg(x/2)]/[sqrt(2)]) +C =
Aprovecharemos las largas clases para racionalizar los denominadores, entonces:
= [sqrt(2)/2] arctg ([sqrt(2)/2][tg(x/2)]) + C
Puedes comprobar que está bien si derivas con cuidado y tienes en cuenta que
1+[(tg a)^2] = 1/[(cos a)^2] y que
[cos(a/2)]^2 = (1+ cos a) / 2
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas comprendido ya. No olvides puntuar para cerrar la pregunta. Puede que debajo del saludo aparezca algo de basura, pero el editor no me deja quitarla.
