Congruencias
1) ¿Cual es el residuo cuando la suma
1^5 + 2^5 + 3^5 + · · · + 100^5 se divide por 4?
2)Pruebe las siguientes afirmaciones:
c) Para cualquier entero a, a^4 (congruente) con 0 o 1(mod5)
d) Si el entero a no es divisible por 2 o 3, entonces a^2 (congruente) con 1(mod24)
1^5 + 2^5 + 3^5 + · · · + 100^5 se divide por 4?
2)Pruebe las siguientes afirmaciones:
c) Para cualquier entero a, a^4 (congruente) con 0 o 1(mod5)
d) Si el entero a no es divisible por 2 o 3, entonces a^2 (congruente) con 1(mod24)
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Clayre 73!
1) El residuo es cero, hagamos las cuentas.
Tomemos grupos de cuatro en cuatro
1^5, 2^5, 3^5, 4^5
5^5, 6^5, 7^5, 8^5
.
.
97^5, 98^5, 99^5, 100^5
Calculamos el residuo para la primera fila.
1^5 proporciona 1
2^5= 4*8 proporciona 0
3^5 = 9 · 9 · 3 proporciona 1 · 1 · 3 = 3
4^5 proporciona 0 porque es supermúltiplo de cuatro
Luego el residuo de la primera fila es 1+0+3+0 = 4 que es 0 (mod 4)
Ahora vemos que la segunda fila tiene esos números incrementados en cuatro.
(4+1)^5, (4+2)^5, (4+3)^5, (4+4)^5.
Si desarrolamos el binomio de Newton de uno de estos tendremos
(4+x)^5 = 4^5 + 5(4^4)x + 10(4^3)(x^2) + 10(4^2)(x^3) + 5(4)(x^4) + x^5
Los cinco primeros sumandos son múltiplos de 4 luego no afectan al residuo que es el del ultimo sumando que ha quedado lo mismo que había en la fila de arriba.
No serían necesarias esas cuentas si damos por hecha la afirmación de que si
a congruente con b mod n ==> a^k congruente con b^k mod n
Luego la segunda fila tienen mismos residuos parciales y mismo residuo total.
Se puede aplicar lo mismo a la tercera fila respecto a la segunda y así a todas respecto de su predecesoras. Todas las filas tienen residuo cero y el residuo de la suma de todas es cero.
-----------------
2c) Para cualquier número entero a, A^4 congruente con 0 ó 1 (mod 5)
Dado cualquier número a lo descomponemos por el algioritmo de la división en
a = 5k + r
Donde r es el resto positivo comprendido entre 0 y 4
Al igual que antes, desarrollamos el binomio de Newton
a^4=(5k+r)^4 = 625(k^4) + 4·125(k^3)r + 6·25·(k^2)(r^2) + 4·5(r^3) + r^4
Como antes, los 4 sumandos primeros son múltiplos de 5 y no afectan al residuo que dependerá unicamente de r. También digo com antes que no hubieran hecho falta estas cuentas si ya diéramos que por probadao que
a congruente con b mod m ==> a^k congruente con b^k mod m
En resumen que los posibles residuos de cualquier número entero se reducen a los residuos del sistema completo de residuos 0,1,2,3,4
0^4 = 0
1^4 = 1
2^4 = 16 = 1 (mod 5)
3^4 = 81 = 1 (mod 5)
4^4 = 256 = 1 (mod5)
Luego los residuos solo pueden ser 0 ó 1
---------------------------
2d)Como llevamos viendo en todos estos ejercicios el residuo de una potencia de un número es la potencia del residuo de ese número. Aquí vamos a tomar el mçodulo 24 y basta con examinar los cuadrados de los números 0 a 23. Pero primero quitamos los múltiplo1 de 2 o 3 y quedan estos
1,5,7,11,13,17,19,23
Asimismo si a un número impar le sumamos 6 su cuadrado tendrá el mismo residuo módulo 24 que al numero original
(x+6)^2 = x^2 + 12 x +36 = x^2 + 12(x + 3)
Pero como por era impar, (x + 3) es par y 12(x+3) es múltiplo de 24. Esto hace que quede de la forma:
(x-6)^2 = x^2 + 24k
Luego si x impar se cumple (x+6)^2 congruente con x^2 mod 24
Y estro hace que únicamente tengamos que estudiar los casos 1 y 5, los otros se obtienen por sucesivas adiciones de 6
1^2 = 1 congruente con 1 mod24
5^2 = 25 es congruente con 1 mod 24
1) El residuo es cero, hagamos las cuentas.
Tomemos grupos de cuatro en cuatro
1^5, 2^5, 3^5, 4^5
5^5, 6^5, 7^5, 8^5
.
.
97^5, 98^5, 99^5, 100^5
Calculamos el residuo para la primera fila.
1^5 proporciona 1
2^5= 4*8 proporciona 0
3^5 = 9 · 9 · 3 proporciona 1 · 1 · 3 = 3
4^5 proporciona 0 porque es supermúltiplo de cuatro
Luego el residuo de la primera fila es 1+0+3+0 = 4 que es 0 (mod 4)
Ahora vemos que la segunda fila tiene esos números incrementados en cuatro.
(4+1)^5, (4+2)^5, (4+3)^5, (4+4)^5.
Si desarrolamos el binomio de Newton de uno de estos tendremos
(4+x)^5 = 4^5 + 5(4^4)x + 10(4^3)(x^2) + 10(4^2)(x^3) + 5(4)(x^4) + x^5
Los cinco primeros sumandos son múltiplos de 4 luego no afectan al residuo que es el del ultimo sumando que ha quedado lo mismo que había en la fila de arriba.
No serían necesarias esas cuentas si damos por hecha la afirmación de que si
a congruente con b mod n ==> a^k congruente con b^k mod n
Luego la segunda fila tienen mismos residuos parciales y mismo residuo total.
Se puede aplicar lo mismo a la tercera fila respecto a la segunda y así a todas respecto de su predecesoras. Todas las filas tienen residuo cero y el residuo de la suma de todas es cero.
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2c) Para cualquier número entero a, A^4 congruente con 0 ó 1 (mod 5)
Dado cualquier número a lo descomponemos por el algioritmo de la división en
a = 5k + r
Donde r es el resto positivo comprendido entre 0 y 4
Al igual que antes, desarrollamos el binomio de Newton
a^4=(5k+r)^4 = 625(k^4) + 4·125(k^3)r + 6·25·(k^2)(r^2) + 4·5(r^3) + r^4
Como antes, los 4 sumandos primeros son múltiplos de 5 y no afectan al residuo que dependerá unicamente de r. También digo com antes que no hubieran hecho falta estas cuentas si ya diéramos que por probadao que
a congruente con b mod m ==> a^k congruente con b^k mod m
En resumen que los posibles residuos de cualquier número entero se reducen a los residuos del sistema completo de residuos 0,1,2,3,4
0^4 = 0
1^4 = 1
2^4 = 16 = 1 (mod 5)
3^4 = 81 = 1 (mod 5)
4^4 = 256 = 1 (mod5)
Luego los residuos solo pueden ser 0 ó 1
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2d)Como llevamos viendo en todos estos ejercicios el residuo de una potencia de un número es la potencia del residuo de ese número. Aquí vamos a tomar el mçodulo 24 y basta con examinar los cuadrados de los números 0 a 23. Pero primero quitamos los múltiplo1 de 2 o 3 y quedan estos
1,5,7,11,13,17,19,23
Asimismo si a un número impar le sumamos 6 su cuadrado tendrá el mismo residuo módulo 24 que al numero original
(x+6)^2 = x^2 + 12 x +36 = x^2 + 12(x + 3)
Pero como por era impar, (x + 3) es par y 12(x+3) es múltiplo de 24. Esto hace que quede de la forma:
(x-6)^2 = x^2 + 24k
Luego si x impar se cumple (x+6)^2 congruente con x^2 mod 24
Y estro hace que únicamente tengamos que estudiar los casos 1 y 5, los otros se obtienen por sucesivas adiciones de 6
1^2 = 1 congruente con 1 mod24
5^2 = 25 es congruente con 1 mod 24
