Álgebra lineal

Varias indicaciones iniciales.
a) Tres vectores en R2 son siempre linealmente dependientes. La base es de dos vectores por lo tano tres siempre serna dependientes.
b) El vector (0, 0) de R2 es siempre dependiente de cualquier otro vector porque o*(x, y) = (0, 0)
Esto sería suficiente para responder a ambas preguntas pero como queremos llegar más allá miraremos la independencia dos a dos.
1) Hay que aplicar el determinante dos a dos si es cero son dependientes, si no son independientes. Por ejemplo:
Det((1,1),(4,4)) = 0 por tanto son dependientes.
Det((1,1),(5,3))=-2 por tanto son independientes.
Det((4,4),(5,3))=-7 por tanto son independientes.
Así puedes hacer el 2)

Antes de hacer ninguna cuenta ya sabemos que son linealmente dependientes porque el espacio vectorial R2 tiene dimensión 2, y por tanto todo conjunto de más de dos vectores es linealmente independiente a la fuerza.
Vamos a averiguar cual es la relación.
1) Claramente, el segundo es una combinación del primero:
(4,4) = 4·(1,1)
Tendriamos (4,4) = 4(1,1) + 0(5,3), esa sería la combinación lineal
Si quitamos el vector (4,4) ya queda un sistema linealmente independiente que es una base.
2) El vector (0,0) es el nulo, es linealmente dependiente con cualquiera.
(0,0) = 0(3,5) + 0(1,3)
Si quitamos el (0,0) ya queda un sistema independiente que es una base.