Teoría de números (teorema de los restos chinos)
Agradezco su ayuda ya que toca hacerlo con las ecuaciones... Y no se hacerlo gracias, se que el resultado es 51 pasajeros por por bus pero no se plantear las ecuaciones para llegar a esa solución
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Llamemos b al número de turistas que hay en cada bus. El total serán 5b.
Las ecuaciones que se extraen del enunciado son:
2b = 3 (mod 9)
3b + 3 = 0 (mod 4)
5b = 15 (mod 24)
No he visto que estas ecuaciones sean las más apropiadas para el toerema chino, aunque a lo mejor os han enseñado otra definición o teoremaz complementarios que lo hagan usable. La aplicación que he hecho yo ha sido más pobre y confusa que la resolución simple del sistema de las ecuaciones de congruencias y por eso las reesuelvo. Como tampoco sé que métodos usáis, yo lo haré como si fueran ecuaciones diofánticas, que al fin al cabo es la base de toda resolución de este tipo.
Por definición de congruencias, existirá un t € Z tal que:
2b = 3 + 9 t
b = (3 + 9t) / 2
Vamos con este valor a la segunda ecuación:
3(3+9t)/2 = 0 (mod 4)
Por lo mismo que se dijo antes existirá un s € Z tal que
3(3+9t)/2 +3 = 4s
9+27t = 2(4s -3)
9+27t = 8s - 6
27t - 8s = -15
Esa ecuación no me gusta. Si hago el cambio s = r +2
27t - 8r -16 = -15
27t - 8r = 1
Ahora si. El mcd(27,8) = 1 que divide al coeficiente derecho, luego tiene solución.
Por el algoritmo extendido de Euclides econtramos una particular:
27 = 3 · 8 + 3
8 = 2 · 3 + 2
3 = 1 · 2 + 1
2 = 2 · 1 + 0
Volvemos hacia atrás
1 = 3 - 2 · 1
1 = 3 - (8 - 2 · 3) ·1 = 3 · 3 - 8
1 = 3 · (27 - 3 · 8) - 8 = 3 · 27 - 10 · 8
Comparando con la ecuación inicial tenemos t = 3 y r = 10
Y la solución general es t = 3 + 8 j para todo j € Z. La de r no me interesa.
Recordemos que arriba teníamos:
2b = 3 + 9t
Luego
2b = 3 + 9(3 + 8j) = 3 + 27 + 72 j = 30 + 72j
b = (30+72j) / 2 = 15 + 36 j
5b = 5(15+36j) = 75 + 180j
Ahora ya sustituimos este valor en la tercera ecuación de congruencias
5b = 15 (mod 24)
75 +180j = 15 (mod 24)
180j = -60 (mod 24)
180j = 12 (mod 24)
Dividiendo todo por 12
15j = 1 (mod 2)
Esta ecuación no necesita resolverse por el método diofántico anterior, se fe que la soluciñon es que j sea impar y ya está. Luego j=1, 3, 5 o negativos.
5b = 75 + 180j con j impar y nos decían que 5b era menor que 300, luego deberemos tomar j = 1 porque el 3 se pasa por mucho y quedará:
5b = 75 + 180 = 255 turistas
Luego eran 255 turistas.
---------
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido, si no pide aclaraciones. NO olvides puntuar.
Las ecuaciones que se extraen del enunciado son:
2b = 3 (mod 9)
3b + 3 = 0 (mod 4)
5b = 15 (mod 24)
No he visto que estas ecuaciones sean las más apropiadas para el toerema chino, aunque a lo mejor os han enseñado otra definición o teoremaz complementarios que lo hagan usable. La aplicación que he hecho yo ha sido más pobre y confusa que la resolución simple del sistema de las ecuaciones de congruencias y por eso las reesuelvo. Como tampoco sé que métodos usáis, yo lo haré como si fueran ecuaciones diofánticas, que al fin al cabo es la base de toda resolución de este tipo.
Por definición de congruencias, existirá un t € Z tal que:
2b = 3 + 9 t
b = (3 + 9t) / 2
Vamos con este valor a la segunda ecuación:
3(3+9t)/2 = 0 (mod 4)
Por lo mismo que se dijo antes existirá un s € Z tal que
3(3+9t)/2 +3 = 4s
9+27t = 2(4s -3)
9+27t = 8s - 6
27t - 8s = -15
Esa ecuación no me gusta. Si hago el cambio s = r +2
27t - 8r -16 = -15
27t - 8r = 1
Ahora si. El mcd(27,8) = 1 que divide al coeficiente derecho, luego tiene solución.
Por el algoritmo extendido de Euclides econtramos una particular:
27 = 3 · 8 + 3
8 = 2 · 3 + 2
3 = 1 · 2 + 1
2 = 2 · 1 + 0
Volvemos hacia atrás
1 = 3 - 2 · 1
1 = 3 - (8 - 2 · 3) ·1 = 3 · 3 - 8
1 = 3 · (27 - 3 · 8) - 8 = 3 · 27 - 10 · 8
Comparando con la ecuación inicial tenemos t = 3 y r = 10
Y la solución general es t = 3 + 8 j para todo j € Z. La de r no me interesa.
Recordemos que arriba teníamos:
2b = 3 + 9t
Luego
2b = 3 + 9(3 + 8j) = 3 + 27 + 72 j = 30 + 72j
b = (30+72j) / 2 = 15 + 36 j
5b = 5(15+36j) = 75 + 180j
Ahora ya sustituimos este valor en la tercera ecuación de congruencias
5b = 15 (mod 24)
75 +180j = 15 (mod 24)
180j = -60 (mod 24)
180j = 12 (mod 24)
Dividiendo todo por 12
15j = 1 (mod 2)
Esta ecuación no necesita resolverse por el método diofántico anterior, se fe que la soluciñon es que j sea impar y ya está. Luego j=1, 3, 5 o negativos.
5b = 75 + 180j con j impar y nos decían que 5b era menor que 300, luego deberemos tomar j = 1 porque el 3 se pasa por mucho y quedará:
5b = 75 + 180 = 255 turistas
Luego eran 255 turistas.
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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido, si no pide aclaraciones. NO olvides puntuar.
