Funciones aritméticas ...
1) a) vericar que tau(n) = tau(n+1) = tau(n+2) = tau( n+3) tiene para n =3655 y 4503
b) cuando n= 14, 206, y 957. Demostrar que delta(n)= delta(n+1)
2) Para cualquier entero n (mayor igual) 1, establecer la desigualdad tau(n) (menor igual)de 2 raíz de n
Nota: si d/n, entonces uno de de o n / de es menor o igual a raíz de n.
b) cuando n= 14, 206, y 957. Demostrar que delta(n)= delta(n+1)
2) Para cualquier entero n (mayor igual) 1, establecer la desigualdad tau(n) (menor igual)de 2 raíz de n
Nota: si d/n, entonces uno de de o n / de es menor o igual a raíz de n.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Dianis 1556¡
No sé si habrá algún teorema que lo demuestre, creo que habrá que coger calculadora y verificar, es un cuestión de tiempo.
El número de divisores de un número se puede saber a través de sus factores primos
si n =p1^k1 · p2^k2 ·....· pr^kr
El número de divisores es tau(n) = (k1+1)(k2+2)···(kr+1)
3655 = 5 · 17 · 43
tau(3655) = 2 · 2 · 2 = 8
3656 = 2^3 · 457
tau(3656) = 4 · 2 = 8
3657 = 3 · 23 · 53
tau(3657) = 2 · 2 · 2 = 8
3658 = 2 · 31 · 59
tau(3658) = 2 · 2· 2 = 8
¡Uy! Espera que me hago dueño de la pregunta. No vaya a venir algún manazas como el que te dijo que si querías que te hicieran la tarea y me chafe todo el trabajo a mí.
Ahora continuo, no cierres.
No sé si habrá algún teorema que lo demuestre, creo que habrá que coger calculadora y verificar, es un cuestión de tiempo.
El número de divisores de un número se puede saber a través de sus factores primos
si n =p1^k1 · p2^k2 ·....· pr^kr
El número de divisores es tau(n) = (k1+1)(k2+2)···(kr+1)
3655 = 5 · 17 · 43
tau(3655) = 2 · 2 · 2 = 8
3656 = 2^3 · 457
tau(3656) = 4 · 2 = 8
3657 = 3 · 23 · 53
tau(3657) = 2 · 2 · 2 = 8
3658 = 2 · 31 · 59
tau(3658) = 2 · 2· 2 = 8
¡Uy! Espera que me hago dueño de la pregunta. No vaya a venir algún manazas como el que te dijo que si querías que te hicieran la tarea y me chafe todo el trabajo a mí.
Ahora continuo, no cierres.
b) Espera que busco la fórmula de delta(n) en el libro.
Por cierto, no es delta es sigma.
Es {[p1^(k1+1) - 1] / (p1-1)} · {[p2^(k2+1) - 1] / (p2-1)}···{[pr^(kr+1) - 1] / (pr-1)}
Aunque para números pequeños es mejor hacer la suma a mano de los divisores
14 = 2 · 7
Sigma(14) = [(2^2 -1) / 1][(7^2 -1) / 6] = 3 · 48/6 = 24
Que hecho a mano era, los divisores son 1,2,7,14 y suman 24
15 = 3 · 5
los divisores son 1,3,5,15 y suman 24. Luego es cierto, sigma(14) = sigma(15)
206 = 2 · 103
sigma(206) = 1 + 2 + 103 + 206 = 312
207 = 3^2 · 23
Lo haremos a mano, pondremos las parejas de divisores y cocientes
sigma(207) = 1 + 207 + 3 + 69 + 9 + 23 = 312 Luego sigma(306) = sigma(307)
957 = 3 · 11 · 29
sigma(957) = [(3^2 -1)/ 2] · [(11^2 -1) / 10] · [(29^2 - 1) / 28] = 4 · 12 · 30 = 1440
958 = 2 · 479
sigma(958) = 1 + 958 + 2 + 479 = 1440. Luego sigma(957) = sigma(958)
-------
2) Para cualquier entero n (mayor igual) 1, establecer la desigualdad tau(n) (menor igual)de 2 raíz de n
Como ya decíamos en un ejercicio anterior, lo divisores van por parejas.
Si de es divisor de n entonces n = de · c donde c es el cociente de dividir d/c
Además si de < sqrt(n) entonces c > sqrt(n) luego de y c son distintos salvo que d=sqrt(n)
Y todo divisor > sqrt(n) tendrá un cociente menor que sqrt(n), luego si los hemos contado todos por orden estamos ante una pareja repetida.
En resumen el número de parejas será a lo sumo sqrt(n)-1 suponiendo que todos los naturales le dividan hasta sqrt(n) -1. Y si acaso habrá un divisor más si es un cuadrado perfecto. O sea que como máximo el número de divisores es:
2(sqrt(n)-1)+1 = 2sqrt(n) -1
Pues yo diría más, diría menor estricto, no menor o igual como dice el problema.
Y eso es todo, ojala lo hallas entendido. No olvides puntuar.
Por cierto, no es delta es sigma.
Es {[p1^(k1+1) - 1] / (p1-1)} · {[p2^(k2+1) - 1] / (p2-1)}···{[pr^(kr+1) - 1] / (pr-1)}
Aunque para números pequeños es mejor hacer la suma a mano de los divisores
14 = 2 · 7
Sigma(14) = [(2^2 -1) / 1][(7^2 -1) / 6] = 3 · 48/6 = 24
Que hecho a mano era, los divisores son 1,2,7,14 y suman 24
15 = 3 · 5
los divisores son 1,3,5,15 y suman 24. Luego es cierto, sigma(14) = sigma(15)
206 = 2 · 103
sigma(206) = 1 + 2 + 103 + 206 = 312
207 = 3^2 · 23
Lo haremos a mano, pondremos las parejas de divisores y cocientes
sigma(207) = 1 + 207 + 3 + 69 + 9 + 23 = 312 Luego sigma(306) = sigma(307)
957 = 3 · 11 · 29
sigma(957) = [(3^2 -1)/ 2] · [(11^2 -1) / 10] · [(29^2 - 1) / 28] = 4 · 12 · 30 = 1440
958 = 2 · 479
sigma(958) = 1 + 958 + 2 + 479 = 1440. Luego sigma(957) = sigma(958)
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2) Para cualquier entero n (mayor igual) 1, establecer la desigualdad tau(n) (menor igual)de 2 raíz de n
Como ya decíamos en un ejercicio anterior, lo divisores van por parejas.
Si de es divisor de n entonces n = de · c donde c es el cociente de dividir d/c
Además si de < sqrt(n) entonces c > sqrt(n) luego de y c son distintos salvo que d=sqrt(n)
Y todo divisor > sqrt(n) tendrá un cociente menor que sqrt(n), luego si los hemos contado todos por orden estamos ante una pareja repetida.
En resumen el número de parejas será a lo sumo sqrt(n)-1 suponiendo que todos los naturales le dividan hasta sqrt(n) -1. Y si acaso habrá un divisor más si es un cuadrado perfecto. O sea que como máximo el número de divisores es:
2(sqrt(n)-1)+1 = 2sqrt(n) -1
Pues yo diría más, diría menor estricto, no menor o igual como dice el problema.
Y eso es todo, ojala lo hallas entendido. No olvides puntuar.
