El teorema de wilson
1) Usando el teorema de Wilson, pruebe que:
1^(2) · 3^(2) · 5^(2) · · · (p - 2)^2 (congruente con) (-1)^((p+1)/2) (mod p)
2) a) Para un primo p de la forma 4k + 3, probar que
(p - 1)/2) (congruente con) 1(mod p) o (p - 1)/2) (congruente con) -1(modp);
Por lo tanto, [(p - 1)/2]! Satisface la congruencia cuadrática x^2 (congruente con) 1(modp).
b) Use la parte (a) para probar que si p = 4k + 3 es primo, entonces el producto de todos
los enteros pares menores que p es congruente modulo p a 1 o -1.
[Ayuda: El teorema de Fermat implica que 2^((p-1)/2) (congruente con) (+ y -)1(modp)].
1^(2) · 3^(2) · 5^(2) · · · (p - 2)^2 (congruente con) (-1)^((p+1)/2) (mod p)
2) a) Para un primo p de la forma 4k + 3, probar que
(p - 1)/2) (congruente con) 1(mod p) o (p - 1)/2) (congruente con) -1(modp);
Por lo tanto, [(p - 1)/2]! Satisface la congruencia cuadrática x^2 (congruente con) 1(modp).
b) Use la parte (a) para probar que si p = 4k + 3 es primo, entonces el producto de todos
los enteros pares menores que p es congruente modulo p a 1 o -1.
[Ayuda: El teorema de Fermat implica que 2^((p-1)/2) (congruente con) (+ y -)1(modp)].
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Imagino que eres Clayre y Dianis, porque usaré cosas previas contestradas a ellas/os
Este problema es muy feo. No se si usar la ayuda que da el libro en el problema directamente o si la tengo que demostrar, pero que de
k := -(p-k) se siga 2·4·6···(p-1) := (-1)^[(p-1)/2] · 3·5···(p-2)
Hay que ser muy visionario para verlo.
Ahora tengo que dejar el ordenador.
Simplemente quería ver la página web esta admite el signo de congruencia, aunque creo que no lo usaré por la molestia que supone el andar pegándolo desde word.
Ahi va el signo cinco veces, veremos que salió: = = = = =
Este problema es muy feo. No se si usar la ayuda que da el libro en el problema directamente o si la tengo que demostrar, pero que de
k := -(p-k) se siga 2·4·6···(p-1) := (-1)^[(p-1)/2] · 3·5···(p-2)
Hay que ser muy visionario para verlo.
Ahora tengo que dejar el ordenador.
Simplemente quería ver la página web esta admite el signo de congruencia, aunque creo que no lo usaré por la molestia que supone el andar pegándolo desde word.
Ahi va el signo cinco veces, veremos que salió: = = = = =
¡Vaya, me parece que no funcionó, los transformó en vulgares signos igual!
Pues nada, seguiremos usando el = y el := si me acuerdo.
Pues nada, seguiremos usando el = y el := si me acuerdo.
Hola...
Pues no diana, clayre y yo somos diferentes, pero si compartimos el mismo curso, y fue Diana la que nos recomendó esta página... y viera a cuantos ayudas porque respondiendo esto no solo nos ayuda a nosotras sino a los del curso de números, ya que explicas tan bien, cosa que no encontramos en nuestro profe... por eso es tan valioso su trabajo y su excelente explicación...
Y si esta página no deja copiar la congruencia por eso toca poner entre parentecis que se trata de una congruencia... o más bien como decís toca utilizar el igual el =
Gracias
Pues no diana, clayre y yo somos diferentes, pero si compartimos el mismo curso, y fue Diana la que nos recomendó esta página... y viera a cuantos ayudas porque respondiendo esto no solo nos ayuda a nosotras sino a los del curso de números, ya que explicas tan bien, cosa que no encontramos en nuestro profe... por eso es tan valioso su trabajo y su excelente explicación...
Y si esta página no deja copiar la congruencia por eso toca poner entre parentecis que se trata de una congruencia... o más bien como decís toca utilizar el igual el =
Gracias
Pues vayamos con el problema.
Lo que dice la ayuda del libro en inglés (que no entiendo ni papa la mayoría de las veces por culpa del idioma) está bien.
Tomaremos los números 1, 2,..., (p-1) por parejas de está forma
1 con (p-1)
2 con (p-2)
...
(p-1)/2 con [p - (p-1)/2] = (p-1)/2 + 1 que es el siguiente de (p-1)/2 con lo cual se completan todos los (p-1) números
Además (p-1)/2 es entero porque p era impar, luego (p-1) par y (p-1)/2 entero
En cada par i, (p-i) se verifica
i := - (p-i) (mod p)
ya que -(p-i) - i = - p es múltiplo de p
En la parte izquierda de la congruencia multiplicaremos todos los pares y en la izquierda los impares.
La primera congruencia será:
2 := (-1) (p-2) (mod p)
la segunda y siguientes
2 · 4 = (-1)(-1) (p-2)(p-4) (mod p)
2 · 4 · 6 = (-1)(-1)(-1)(p-2)(p-4)(p-6) (mod p)
hasta la última. Como p es impar, p-par da impar.
2·4·6···(p-1) := (-1)^[(p-1)/2] (p-2)(p-4)(p-6)···5·3·1 (mod p)
Y ahora ya nos ponemos con el problema. La ponemos en orden y con los términos cambiados de sitio
(-1)^[(p-1)/2] 1·3·5···(p-4)(p-2) := 2·4···(p-1) (mod p)
Multiplicaremos por el primer término en ambos lados. El (-1)^[(p-1)/2] inicial da lo mismo que tenga signo + o -, al multiplicarse por sí mismo se hace positivo y queda
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p-1)/2] 1·2·3·4···(p-1) (mod p)
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)! (mod p)
Y aquí es donde se usa el teorma de Wilson que dice (p-1)! := -1 (mod p). Sustituyendo esto en el segundo término
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p-1)/2] (-1) (mod p)
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p-1)/2 + 1] (mod p)
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p+1)/2] (mod p)
Si acaso solo falta operar en el corchete para dejarlo exactamente como decía el enunciado:
1^2 ·3^2 · 5^2···(p-2)^2 := (-1)^[(p+1)/2] (mod p)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar.
Lo que dice la ayuda del libro en inglés (que no entiendo ni papa la mayoría de las veces por culpa del idioma) está bien.
Tomaremos los números 1, 2,..., (p-1) por parejas de está forma
1 con (p-1)
2 con (p-2)
...
(p-1)/2 con [p - (p-1)/2] = (p-1)/2 + 1 que es el siguiente de (p-1)/2 con lo cual se completan todos los (p-1) números
Además (p-1)/2 es entero porque p era impar, luego (p-1) par y (p-1)/2 entero
En cada par i, (p-i) se verifica
i := - (p-i) (mod p)
ya que -(p-i) - i = - p es múltiplo de p
En la parte izquierda de la congruencia multiplicaremos todos los pares y en la izquierda los impares.
La primera congruencia será:
2 := (-1) (p-2) (mod p)
la segunda y siguientes
2 · 4 = (-1)(-1) (p-2)(p-4) (mod p)
2 · 4 · 6 = (-1)(-1)(-1)(p-2)(p-4)(p-6) (mod p)
hasta la última. Como p es impar, p-par da impar.
2·4·6···(p-1) := (-1)^[(p-1)/2] (p-2)(p-4)(p-6)···5·3·1 (mod p)
Y ahora ya nos ponemos con el problema. La ponemos en orden y con los términos cambiados de sitio
(-1)^[(p-1)/2] 1·3·5···(p-4)(p-2) := 2·4···(p-1) (mod p)
Multiplicaremos por el primer término en ambos lados. El (-1)^[(p-1)/2] inicial da lo mismo que tenga signo + o -, al multiplicarse por sí mismo se hace positivo y queda
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p-1)/2] 1·2·3·4···(p-1) (mod p)
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)! (mod p)
Y aquí es donde se usa el teorma de Wilson que dice (p-1)! := -1 (mod p). Sustituyendo esto en el segundo término
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p-1)/2] (-1) (mod p)
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p-1)/2 + 1] (mod p)
[1·3·5···(p-2)]^2 := (-1)^[(p+1)/2] (mod p)
Si acaso solo falta operar en el corchete para dejarlo exactamente como decía el enunciado:
1^2 ·3^2 · 5^2···(p-2)^2 := (-1)^[(p+1)/2] (mod p)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar.
Me confundí en el ejercicio, ese es el punto 1 verdad... ¿es qué no estoy segura?
Ah si, es verdad que solo contesté el punto 1, pues para mí fue una eternidad hasta que lo resolví.
Es que estas preguntas tan complicadas y largas no están bien recompensadas. Mejor manda cada ejercicio en una pregunta por separado. Puntúa esta pregunta y manda el ejercicio 2 en otra pregunta
Es que estas preguntas tan complicadas y largas no están bien recompensadas. Mejor manda cada ejercicio en una pregunta por separado. Puntúa esta pregunta y manda el ejercicio 2 en otra pregunta
