Función aritmética...

Sigma(n) = [p1^(k1+1)-1] / (p1-1) ··· [pr^(kr+1) - 1] / (pr-1)
Elegimos que que no tenga factores primos 2 y 5 y consideramos los enteros 5k y 4k
Sin ir más lejos tomemos k=3, saldrían 15 y 12
15^2 = 3^2 · 5^2
Tau(15^2)= (3^3 - 1)/2 · (5^3-1) / 4 = 13 · 31 = 403
12^2 = 2^4 · 3^2
Tau(12^2) = (2^5 -1) / 1 · (3^3 -1) / 2) = 31 · 13 =403
Efectivamente, tomaremos pares de la forma m = (4·k)^2 y n = (5·k)^2 donde k sea un número que no tenga factores primos 2 ni 5. Los números que no tienen factores 2 y 5 son infinitos.
Tau es multiplicativa, como k y 2 son coprimos tambien lo son 16 y k^2, luego
tau(16·k^2) = tau(16)tau(k^2) = (2^5 - 1)tau(k^2) = 31·tau(k^2)
k y 5 tambíen son coprimos y por lo tanto lo son 25 y k^2
tau(25·k^2) = tau(25)·tau(k^2) = (5^3 -1)/4 · tau(k^2) = 31·tau(k^2)
Luego tau(16k^2) = tau(25k^2) y queda demostrada la existencia de infinitos paraes de números enteros tales que sigma(n^2) = sigma(m^2)
Y eso es todo.