Función aritmética

Dianis 1556!
a)
Para n=2 tomemos n1=1 y n2=1 ya que tau(1)=1 se cumple
Para n=3 tomemos n1= 1 y n2=2 ya que tau(2)=2 se cumple
Para n>=4 ya podemos descomponer n en suma de dos números n=i+j con i, j >= 2
Es muy sencillo obtener un número cuyo tau sea i o j, basta tomar un primo elevado a la (i-1) o ( j-1). Tomaremos 2 primos distintos, el 2 y el 3 nos sirven.
n1 = 2^(i-1); tau(n1) = i
n2 = 3^(j-1); tau(n2) = j
Luego tau(n1)+tau(n2) = i+j = n
Y si queremos darlo todo bien masticado tomemos i = parte entera de (n/2), j = n-i y ya está.
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b) La conjetura de Goldbach dice que para todo n existen dos primos p y q cuya suma es n.
Recordemos que si n = p1^k1···pr^kr entonces
sigma(n) = [p1^(k1+1) -1] / (p1-1) ··· [pr^(kr+1) -1] / (pk-1)
Tal vez no haga falta eso, simplemente hay que darse cuenta que si p es un número primo se cumple:
sigma(p) = p+1
puesto que los únicos divisores son 1 y p
Si 2n = 2 tomamos n1=n2=1 ya que sigma(1) = 1 se cumple que sigma(1)+sigma(2)=2
Si 2n >=4 tomemos el numero 2n-2.
Por la cojetura de Goldbach existen dos primos p y q tales que p+q = 2n-2
Sigma(p) + Sigma(q) = p+1+q+1 = p+q+2 = 2n-2+2 = 2n
Con lo cual queda demostrado el enunciado.
Y eso es todo.