Hallar la superficie total y el volumen
De un prisma recto de 12 cm de altura cuya base es un hexágono regular de 4 cm de lado
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Para calcular el área de la base debemos conocer el apotema del hexágono. Se calcula del siguiente modo.
El hexágono se divide en 6 triángulos que son equilateros porque el angulo central es de 60º y los otros iguales entre si por ser isósceles, luego, los tres de 60º y triangulo equilátero. El apotema es la altura de un triángulo equilátero, que lo divide en dos triángulos y en uno de ellos aplicamos el teorema de Pitágoras. La hipotenusa es el lado del triangulo equilátero y la base la mitad de ese lado. Llamando b al lado del triángulo y a al apotema tenemos
a^2 + (b/2)^2 = b^2
a^2 + (4/2)^2 = 4^2
a^2 = 16 - 4 = 12
a = sqrt(12) = 2sqrt(3) cm
Ahora
Area base = Perimetro · apotema / 2 = 6 · 4 · 2sqrt(3) / 2 = 24sqrt(3) cm^2
Volumen = (Area Base) · altura = 24sqrt(3)·12 = 288sqrt(3) = 498,83063 cm^3
Superficie lateral = perimetro · altura = 24 · 12 = 288 cm^2
Superficie total = (Superficie lateral) + 2 (Area de la base) =
= 288 + 2 · 24sqrt(3) = 288 + 48sqrt(3) = 288 + 83,138439 = 371,13844 cm^2
Y eso es todo.
El hexágono se divide en 6 triángulos que son equilateros porque el angulo central es de 60º y los otros iguales entre si por ser isósceles, luego, los tres de 60º y triangulo equilátero. El apotema es la altura de un triángulo equilátero, que lo divide en dos triángulos y en uno de ellos aplicamos el teorema de Pitágoras. La hipotenusa es el lado del triangulo equilátero y la base la mitad de ese lado. Llamando b al lado del triángulo y a al apotema tenemos
a^2 + (b/2)^2 = b^2
a^2 + (4/2)^2 = 4^2
a^2 = 16 - 4 = 12
a = sqrt(12) = 2sqrt(3) cm
Ahora
Area base = Perimetro · apotema / 2 = 6 · 4 · 2sqrt(3) / 2 = 24sqrt(3) cm^2
Volumen = (Area Base) · altura = 24sqrt(3)·12 = 288sqrt(3) = 498,83063 cm^3
Superficie lateral = perimetro · altura = 24 · 12 = 288 cm^2
Superficie total = (Superficie lateral) + 2 (Area de la base) =
= 288 + 2 · 24sqrt(3) = 288 + 48sqrt(3) = 288 + 83,138439 = 371,13844 cm^2
Y eso es todo.
Hay alguna forma más sencilla de hacer este problema para una alumno de 3 eso Gracias.
Me temo que no puede ser más fácil. El área del hexágono, volumen y superficie del prisma son fórmulas que no admiten más simplificación.
Si te resulta molesto arrastrarlo, podrías haber calculado sqrt(3) nada más que sale y llevar la expresión decimal después, quedaría así lo de después de cuando aparece por primera vez:
a = sqrt(12) = 3,4641016
Ahora
Area base = Perimetro · apotema / 2 = 6 · 4 · 3,4641016 / 2 = 41,569219 cm^2
Volumen = (Area Base) · altura = 41,569219 · 12 = 498,83063 cm^3
Superficie lateral = perimetro · altura = 24 · 12 = 288 cm^2
Superficie total = (Superficie lateral) + 2 (Area de la base) =
= 288 + 2 · 41,569219 = 288 + 83,138439 = 371,13844 cm^2
Quizá la parte más complicada sea la inicial de calcular el apotema, pero es que hay que calcularlo y hay que usar el teorema de Pitágoras por obligación, únicamente podría ayudar algo el haber hecho un dibujo.
De donde se deduce visualmente que los triágulos so equiláteros y el triángulo rectángulo que crea el apotema y los elementos que hay que poner en el teorema de Pitágoras. Lo que pasa es que puse r de radio en vez de b como en el problema, pero son lo mismo.
Más no creo que pueda hacerse sin ser una clase con el profesor presente.
Si te resulta molesto arrastrarlo, podrías haber calculado sqrt(3) nada más que sale y llevar la expresión decimal después, quedaría así lo de después de cuando aparece por primera vez:
a = sqrt(12) = 3,4641016
Ahora
Area base = Perimetro · apotema / 2 = 6 · 4 · 3,4641016 / 2 = 41,569219 cm^2
Volumen = (Area Base) · altura = 41,569219 · 12 = 498,83063 cm^3
Superficie lateral = perimetro · altura = 24 · 12 = 288 cm^2
Superficie total = (Superficie lateral) + 2 (Area de la base) =
= 288 + 2 · 41,569219 = 288 + 83,138439 = 371,13844 cm^2
Quizá la parte más complicada sea la inicial de calcular el apotema, pero es que hay que calcularlo y hay que usar el teorema de Pitágoras por obligación, únicamente podría ayudar algo el haber hecho un dibujo.
De donde se deduce visualmente que los triágulos so equiláteros y el triángulo rectángulo que crea el apotema y los elementos que hay que poner en el teorema de Pitágoras. Lo que pasa es que puse r de radio en vez de b como en el problema, pero son lo mismo.
Más no creo que pueda hacerse sin ser una clase con el profesor presente.
