Integral

Esta es un integral que suele venir en casi todos los libros. Se trata de un simple cambio de variable, si bien es cierto que si nunca se ha visto, el cambio no es obvio
El cambio correcto es
x=sent ( o x=cost)
De esta forma
sqrt(1-x^2)=sqrt(1-sen^2x)=sqrt(cos^2x)=cosx
De igual forma
dx = cosx*dt
Y de esta forma
Int[sqrt(1-x^2)*dx]
Int[cost*cost*dt]
Int[cos^2 t*dt]
Aunque esta integral no es inmediata sale haciéndola por partes
u = cost---> du = -sent*dt
dv = cost*dt ---> v = sent
Y aplicando la fórmula por partes
Int[cost*cost*dt]=
sent*cost - Int[sent*(-sent)*dt]
sent*cost + Int[sent*sent*dt]
Aunque la integral parece cíclica por partes, no sale aplicando partes otra vez ( llegarías a que 0=0)
El truco es hacerla cíclica haciendo
sent*sent = sen^2 t = 1-cos^2 t
De esta forma
Int[cos^2 t * dt]=
sent*cost + Int[sen^2 t * dt]=
sent*cost + Int[1-cos^2 t * dt]=
sent*cost + Int[dt] - Int[cos^2 t * dt]
Llamando
I = Int[cos^2 t * dt]
I = sent*cost - t - I
2*I = sent*cost - t
I = (1/2)*[sent*cost - t]
Deshaciendo los cambios
sent = x
cost = sqrt[1-x^2]
t = arcsenx
Int[sqrt(1-x^2) =
x*sqrt(1-x^2) - arcsenx + cte