Conjuntos
¿El conjunto de números complejos que tiene la propiedad de que su inverso aditivo y multiplicativo son iguales es?
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Respuesta
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Eso se llama determinar un conjunto por especificación: partimos de un conjunto A y una propiedad P, y obtenemos un subconjunto B de A tomando los elementos del conjunto A que cumplen la propiedad P. (Esto lo descubrió Dedekin y bla bla). Sobre esto te podría contar mucho pero vamos al grano.
Sea un número complejo x. Veamos qué ocurre si forzamos a que cumpla las propiedades que nos dicen: sus inversos multiplicativo y aditivo son iguales. Su inverso multiplicativo es 1/x y el aditivo -x. Entonces 1/x=-x. Los números complejos tienen muchas propiedades comunes con los reales y se opera básicamente igual. Por tanto, llevamos la x a la derecha: 1=-x2 (x al cuadrado). x2=-1. Todo número complejo (en este caso -1) tiene n raíces n-ésimas. En este caso n=2, y por tanto hay dos complejos que son raíz cuadrada de -1. Son raíz(-1) y -raíz(-1), es decir, i y -i (i es la unidad imaginaria). Por tanto, el conjunto que se busca es {i, -i}. Es finito y tan sólo tiene dos elementos.
Albertod.
Sea un número complejo x. Veamos qué ocurre si forzamos a que cumpla las propiedades que nos dicen: sus inversos multiplicativo y aditivo son iguales. Su inverso multiplicativo es 1/x y el aditivo -x. Entonces 1/x=-x. Los números complejos tienen muchas propiedades comunes con los reales y se opera básicamente igual. Por tanto, llevamos la x a la derecha: 1=-x2 (x al cuadrado). x2=-1. Todo número complejo (en este caso -1) tiene n raíces n-ésimas. En este caso n=2, y por tanto hay dos complejos que son raíz cuadrada de -1. Son raíz(-1) y -raíz(-1), es decir, i y -i (i es la unidad imaginaria). Por tanto, el conjunto que se busca es {i, -i}. Es finito y tan sólo tiene dos elementos.
Albertod.