¿Cómo resuelvo la siguiente integral ln(1/u)-1 du/ u ln (1/u)?

Imagino que quieres decir esto:

$$\int \frac{ln (\frac{1}{u})-1}{uln(\frac{1}{u})}du=\int \frac{du}{u}-\int \frac{du}{uln(\frac{1}{u})}=$$

ln(u) - $du/uln(1/u) =

Por propiedades de los logaritmos:

ln(1/u) = ln(1) - ln(u) = 0 - ln(u) = - ln(u)

por lo que:

= ln(u) + $du/[uln(u)] =

Y esta integral es casi inmediata, uno tiene que ver que es ln[ln(u)].

Si no lo ve, tendrá que probar cambios hasta dar con este

t=ln(u)

dt = du/u

= ln(u) + $dt/t =

ln(u) +ln(t) =

ln(u) + ln[ln(u)]

Y eso es todo.