Ejercicio de teoría de números, ecuación.

p^2 - 2q^2 = 1

p^2 = 1 + 2q^2

De esto se deduce que p^2 es impar y por lo tanto p es impar

Veamos los residuos de los cuadrados módulo 4

0^2 ~: 0 (mod 4)

1^2 ~: 1 (mod 4)

2^2 ~: 0 (mod 4)

3^2 ~: 1 (mod 4)

Sin n>=4 entonces

n ~: 0,1,2 o 3 (mod 4)

n^2 ~: 0^2, 1^2, 2^2 o 3^2 (mod 4)

Luego todo cuadrado es congruente con 0 o 1 (mod 4). Mas concretamente, si es par es congruente con 0 y si es impar es congruente con 1

Como p es impar p^2 ~: 1 (mod 4) y por tanto el otro lado de la igualdad es congruente con 1

1+2q^2 ~: 1 (mod 4)

q^2 es congruente con 0 o 1, si es congruente con 1

1+2·1 = 3 que no es congruente con 1 luego q^2 no puede ser impar y q no puede ser impar.

Por tanto q debe ser par, pero el único primo par es el 2.

Luego q=2

entonces

p^2 = 1+ 2·2^2 = 9

p=3

Y la única solución es p=3, q=2

Y eso es todo.