Covarianza de dos variables aleatorias. 98

5.98)

Pues hagamos lo que dicen.

Sabemos que:

$$\begin{align}&\rho = \frac{Cov(Y_1,Y_2)}{\sigma_1·\sigma_2}\\ &\\ &\text{O escrito de otra forma}\\ &\\ &\rho = \frac{Cov(Y_1,Y_2)}{\sqrt {V(Y_1)}·\sqrt{V(Y_2)}}=\frac{Cov(Y_1,Y_2)}{\sqrt {V(Y_1)\times V(Y_2)}}\\ &\\ &\text {Por otra parte}\\ &\\ &\rho^2\le 1 \iff -1\le \rho\le 1\\ &\\ &\text {luego}\\ &\\ &\\ &-1\le \frac{Cov(Y_1,Y_2)}{\sqrt {V(Y_1)\times V(Y_2)}} \le 1\\ &\\ &\text {Y multiplicando los tres terminos por el denominador}\\ &\\ &-\sqrt {V(Y_1)\times V(Y_2)} \le  Cov(Y_1,Y_2)\le   \sqrt {V(Y_1)\times V(Y_2)}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.