Pregunta 2 de 5 de Teo de Num

Respecto a este método, lo primero que dice es que se pueden sustituir a y/o b por números congruentes. Veamos que se mantiene la ecuación

ax-b = km

Si sustituimos b por un congruente c será

b - c = em

c = b-em

al sustituir

ax - c = ax - b + em = km + em = (k+e)m

luego se mantiene la congruencia sustituyendo b

Y se cambiamos a por un congruente d tenemos

a-d = em ==> d = a-em

dx - b = (a-em)x - b = ax - emx - b = (ax-b) - emx = km -emx = (k-ex)m

luego se mantiene también la congruencia sustituyendo a.

Estas sustituciones deben ir encaminadas o obtener unb factor común en a y b para que al dividir por el quede una congruencia más sencilla. Entonces lo que vamos a comprobar es que al dividir a y b por un divisor común se mantiene la congruencia

ax :~ b (mod m)

ax - b = km

sea d el divisor común de a y b

(a/d)x - b/d = km/d

Pues solo se puede garantizar que se mantiene la congruencia si d es coprimo con m, porque asi queda de la forma

ex - f = gm

Mientras que si no es coprimo puede quedar dividido m y ya no hay congruencia mod m

Véase este ejemplo

8x :~ 6 (mod 10)

La respuesta es claramente 2 ya que 8·2 = 16 y 16-10=6

Pero si dividimos por 2

4x :~ 3 (mod 10)

Ya no sirve la misma solución porque 4·2 = 8 que no es congruente con 3.

Este método no lo conocía yo, es algo raro y peligroso por lo que veo.

Vamos a ver un ejemplo

5x :~ 8 (mod 27)

Sustituimos 8 por un número congruente y que tenga factor común con 5

Los números congruentes con 8 son de la forma

8 + 27k

basta tomar k=1 y tenemos el 35

5x :~ 35 (mod 27)

podemos dividir entre 5 ya que 5 es coprimo con 27

x :~ 7 (mod 27)

luego 7 es la respuesta.

Vamos a comprobarla.

5·7 =35

35 (mod 27) = 7

Luego 35 :~ 7 (mod 27)

Bueno, el ejemplo ha sido un poco tonto, pero en la pegunta 4 hay uno bueno.

Y esto ha sido todo.