Álgebra moderna, subgrupos normales

El enunciado está mal, por ser M y n subgrupos tienen que tener el elemento neutro, luego habrán querido decir que su intersección es el elemento neutro

Hagamos lo que nos dicen tomemos el elemento

m^(-1)·n^(-1)·m·n

Por ser M un grupo normal y ser m € M tenemos

n^(-1)·m·n € M

Y m^(-1) € M porque un subgrupo tiene los inversos de sus elementos.

Entonces

m^(-1)·[n^(-1)·m·n] € M

Por otra parte hacemos el razonamiento análogo, como n^(-1) € N

m^(-1)·n^(-1)m € N

con lo que

m^(-1)·n^(-1)m·n € N

Luego tenemos que

m^(-1)·n^(-1)m·n € (M n N) = 1

m^(-1)·n^(-1)mn = 1

multiplicamos por m a la izquierda

n^(-1)mn = m

multiplicamos por n a la izquierda

mn =nm

Y eso es todo.