Examen de álgebra
Hola:
Soy estudiante de ingeniería de sistemas y tengo algunos exámenes que resolver.
Los exámenes son de tipo test, y aunque tengo las respuestas correctas (sin demostración), me gustaría que me los aclarara.
Quisiera contar con usted para que me ayude en este y otros exámenes
1º Si en un espacio vectorial se realiza un cambio de base, es cierta la afirmación
A) El cambio se expresa mediante una matriz no regular
B) No hay ninguna matriz que esté asociada al cambio de base
C) La matriz asociada al cambio de base siempre tiene inversa
D) Ninguna de las anteriores
Soy estudiante de ingeniería de sistemas y tengo algunos exámenes que resolver.
Los exámenes son de tipo test, y aunque tengo las respuestas correctas (sin demostración), me gustaría que me los aclarara.
Quisiera contar con usted para que me ayude en este y otros exámenes
1º Si en un espacio vectorial se realiza un cambio de base, es cierta la afirmación
A) El cambio se expresa mediante una matriz no regular
B) No hay ninguna matriz que esté asociada al cambio de base
C) La matriz asociada al cambio de base siempre tiene inversa
D) Ninguna de las anteriores
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
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La base de un espacio vectorial no es única, y basta con tener un número de vectores linealmente dependientes que coincida con la dimensión del espacio para tener una nueva base.
Si un conjunto de vectores es base, cualquier otro vector se puede poner como una combinación lineal de la base.
En concreto, si tenemos dos grupos de vectores que son base, los vectores de una de las bases se pueden poner todos como combinación lineal de la otra base, y así podemos expresar el cambio de base como una matriz de cambio. Debido a ello la respuesta B no tiene sentido.
Pero por otra parte, los vectores de la otra base también se pueden poner como combinación de la segunda, teniendo la matriz de cambio contaría. La teoría nos dice que ambas matrices son inversas, por lo que la respuesta correcta es la C.
Al tener inversa la matriz, esto nos indica que es una matriz regular, o sea que su determinante es no nulo, con lo que la A no es correcta.
La respuesta correcta es la C
Si un conjunto de vectores es base, cualquier otro vector se puede poner como una combinación lineal de la base.
En concreto, si tenemos dos grupos de vectores que son base, los vectores de una de las bases se pueden poner todos como combinación lineal de la otra base, y así podemos expresar el cambio de base como una matriz de cambio. Debido a ello la respuesta B no tiene sentido.
Pero por otra parte, los vectores de la otra base también se pueden poner como combinación de la segunda, teniendo la matriz de cambio contaría. La teoría nos dice que ambas matrices son inversas, por lo que la respuesta correcta es la C.
Al tener inversa la matriz, esto nos indica que es una matriz regular, o sea que su determinante es no nulo, con lo que la A no es correcta.
La respuesta correcta es la C
