Please... Una de Distribución Exponencial (Estadística)

a)

La función de densidad de una distribución exponencial tiene esta forma

f(x) = pe^(-px) si x >= 0

Donde p es el parámetro que en la literatura matemática es lambda pero aquí no puede escribirse esa letra.

La función de densidad de cada uno de nuestros elementos es

f(x) = 0,5e^(-0,5x) si x >= 0

Y la función de distribución de cada componente es

F(x) = 1 - e^(-0,5x)

El sistema tendrá un tiempo de vida x en uno de estos casos

1) Si en el instante x falla el componente 1 y antes no hubieran fallado ni 2 ni 3

2) Si en el instante x falla el componente 1 y antes había fallado 2 pero no 3

3) Si en el instante x falla el componente 1 y antes había fallado 3 pero no 2

4) Si en el instante x falla el componente 2 y antes había fallado 3 pero no 1

5) Si en el instante x falla el componente 3 y antes había fallado 2 pero no 1

Dada la igualdad que tiene de fallar los tres componentes, los casos 2,3,4 y 5 tienen la misma probabilidad de suceder.

Y la probabilidad de suceder cada caso se calcula como la probabilidad de que suceda en ese momento el fallo de uno de los componentes por la probabilidad de que los otros hayan fallado o no durante todo el periodo de tiempo anterior. Eso es el producto de una función de densidad por otras dos que pueden ser o distribución o 1-distribución

Llamemos g(x) a la función de densidad del sistema. Su valor es la suma de los 5 casos

g(x) = 0,5e^(-0,5x) · {1-[1-e^(-0,5x)]}^2 + 4 · 0,5e^(-0,5x) · [1-e^(-0,5x)] · {1-[1-e^(-0,5x)]} =

0,5e^(-0,5x) · [e^(-x) + 4e^(-0,5x) - 4e(-x)] =

0,5e^(-0,5x) · [4e^(-0,5x) - 3e(-x)] =

2e^(-x) - 1,5e^(-1,5x)

g(x) = 2e^(-x) - 1,5e^(-1,5x)

Comprobemos al menos que es una función de distribución, eso nos dará alguna seguridad o nos la quitará por completo. Para ello la integral entre 0 e infinito debe valer 1

$g(x)dx= -2e^(-x) + e^(-1,5x)

Evaluada en infinito y restándole lo que vale en 0 es

-0 + 0 + 2 -1 = 1

es una garantía que para mí es como si fuera total.

Luego g(x) = 2e^(-x) - 1,5e^(-1,5x)

b)

La función de distribución G(x) es la integral entre 0 y x de la función de densidad g(x). Ya estaba medio calculada antes cuando hicimos la comprobación.

G(x) = -2e^(-x) + e^(-1,5x) + 2 - 1

G(x) = 1 + e^(-1,5x) - 2e^(-x)

Y la probabilidad de que dure al menos 5 u es:

P(>= 5u) = 1 - G(5) = 1 - 1 - e^(-7,5) + 2e^(-5) =

-5.530843701 ·10^(-4) + 0,013475894 =

0,01292280963

Y eso es todo.