Matrices
Hola, puedes ayudarme con lo siguiente:
1. Sean A=B+C ; B,C pertenecen a Mn(R) tales que C^2=0 y BC=CB. Demuestre que para p pertenece a los naturales se tiene A^(p+1) = B^p [B+(p+1)C].
2. Sea E,F pertenecen a Mn con F no singular. Si EF=FE,demuestre EF^-1=F^-1E
Agradezco tu ayuda
1. Sean A=B+C ; B,C pertenecen a Mn(R) tales que C^2=0 y BC=CB. Demuestre que para p pertenece a los naturales se tiene A^(p+1) = B^p [B+(p+1)C].
2. Sea E,F pertenecen a Mn con F no singular. Si EF=FE,demuestre EF^-1=F^-1E
Agradezco tu ayuda
Respuesta
1
1. Para p=0, A = [B+C]
Para p>0, y supongamos que se cumple para p-1 (hipótesis de inducción):
A^p = B^(p-1)[B+pC]
Entonces:
A^(p+1) = AA^p = (substituyendo A^p por lo de arriba) = AB^(p-1)[B+pC] = (dado que A=B+C) = (B+C)B^(p-1)[B+pC] = (propiedad distributiva) = BB^(p-1)[B+pC] + CB^(p-1)[B+pC] = (C conmuta con C y con cualquier B^n) = B^p[B+pC] + B^(p-1)C[B+pC] = B^p[B+pC] + B^(p-1)[BC+pC^2] = (dado que C^2=0) = B^p[B+pC] + B^(p-1)BC = B^p[B+pC] + B^pC = (distributiva) = B^p[B+pC+C] = B^p[B+(p+1)C]
Q.E.D.
2. Hay que demostrar que E y F^-1 conmutan, dado que E y F lo hacen.
EF^-1 = F^-1FEF^-1 = F^-1EFF^-1 = F^-1EFF^-1 = F^-1E
Q.E.D.
Para p>0, y supongamos que se cumple para p-1 (hipótesis de inducción):
A^p = B^(p-1)[B+pC]
Entonces:
A^(p+1) = AA^p = (substituyendo A^p por lo de arriba) = AB^(p-1)[B+pC] = (dado que A=B+C) = (B+C)B^(p-1)[B+pC] = (propiedad distributiva) = BB^(p-1)[B+pC] + CB^(p-1)[B+pC] = (C conmuta con C y con cualquier B^n) = B^p[B+pC] + B^(p-1)C[B+pC] = B^p[B+pC] + B^(p-1)[BC+pC^2] = (dado que C^2=0) = B^p[B+pC] + B^(p-1)BC = B^p[B+pC] + B^pC = (distributiva) = B^p[B+pC+C] = B^p[B+(p+1)C]
Q.E.D.
2. Hay que demostrar que E y F^-1 conmutan, dado que E y F lo hacen.
EF^-1 = F^-1FEF^-1 = F^-1EFF^-1 = F^-1EFF^-1 = F^-1E
Q.E.D.