Todo sistema libre de un espacio vectorial real V

Es falso. Un sistema libre es el que todos sus vectores son linealmente independientes. Para que sea una base le hace falta que además sea un sistema generador. En todo espacio vectorial de dimensión n podemos encontrar sistemas libres de 1, 2, 3 y n-1 vectores, pero ninguno de ellos es base, ya que una base tiene n vectores independientes.

Si tomamos R3 cualquier sistema con 1 o 2 vectores libres no es una base, por ejemplo

A={(1,1,0) y (0,1,1)} es un sistema libre pero no es una base.

No podrías expresar con ella el vector (1,3,1) ya que

a(1,1,0) +b(0,1,1) = (1,3,1)

(a, a+b, b) = (1, 3, 1)

se deducen estas 3 ecuaciones

a=1

a+b=3

b=1

pero es un sistema incompatible sin solución ya que si a=1 y b=1 entonces a+b=2 lo cual es incompatible con la segunda ecuación.

Y eso es todo.