Ayuda con teoría de números :c
Encuentra todas las parejas a,b de enteros positivos que cumplen (a,b)=11 y [a,b]=2013.
Hay que recordar que el máximo común divisor tiene los factores primos comunes con el menor exponente y el mínimo común múltiplo los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Basándome en eso elaboro mi método que no sñé si coincidirá con lo que te hayan enseñado, si te han enseñado algo mejor úsalo.
Por ser (a, b) = 11 ambos tienen el 11 como único factor primo común y además uno de ellos con exponente 1. Sin perder generalidad supongamos que es el primero.
a = 11m
b = (11^k)n
donde m,n,k €N y (m,n)=1
Veamos ahora la descomposición de 1013 en factores primos
2013|3 671|11 61|61
Como [a,b] = 3·11·61
significa que el exponente del factor primo 11 de b es 1, ya que se fuera mayor habría aparecido 11 con ese exponente en [a,b]
luego podemos concretar aun más
a=11m
b=11n
Y ahora no hay que hacer otra cosa que repartir factores primos 3 y 61 con exponente 1 a lo sumo entre a y b. Se debe repartir por lo menos un factor primo 3 y otro 61. No hay problema en que a y b repitan el mismo factor. Y lo vamos a hacer de forma que entre las posibilidades no estén los mismos números a y b repetidos con el orden cambiado, para ello daremos a "a" los factores más pequeños y el menor número de ellos, mientras que b el más grande y el mayor número de factores.
Con un solo 3 y un 61 los números que quedarían con a<b son
a= 11·3
b= 11·61
Con dos 3 y un 61
a= 11·3
b=11·3·61
Con un 3 y dos 61
a = 11·61
b= 11·3·61
con dos 3 y dos 61
a=11·3·61
b=11·3·61
Resumiendo y haciendo las operaciones tenemos
a=33 y b=671
a=33 y b=2013
a=671 y b =2013
a=2013 y b=2013
Y eso es todo.
