Ayuda con espacios vectoriales
Sea V el espacio vectorial C([0,1]) con la norma
$$\mid\mid f \mid\mid_{\infty}=sup\{\mid f(x)\mid\mid x \in [0,1]\}.$$Pruébese que la ley del paralelogramo no es valida y concluyase que esta norma no proviene de ningún producto interno.
1 Respuesta
mira este es el libro sobre el cual estamos trabajando
Análisis Clásico Elemental de Jerrold E. Marsden y Michael J. Hoffman
La ley del paralelogramo la enuncia en el ejercicio 12 y dice
$$2||x||^2 + 2||y||^2 = ||x+y||^2 + ||x-y||^2$$
Sean las funciones
$$\begin{align}&f(x)=1\\ &g(x)=x\\ &\\ &2||f||_{\infty}^2+2||g||_{\infty}^2 = 2(1)^2+2(1)^2=4\\ &\\ &||f+g||_{\infty}^2+||f-g||_{\infty}^2 =2^2+1^2 = 5\end{align}$$
No sé por qué motivo no me dejaba escribir más la página y tuve que mandar la respuesta sin terminar.
¿Entonces ahora hay que desmostrar la conclusión o se da ya por demostrada por algún teorema del libro?
La demostración consiste en ver que si procediera de un producto interno cumpliría la ley del paralelogramo, como no la cumple no procede de un producto interno.
Vamos a ver que la norma que procede de un producto interno cumple la ley del paralelogramo. La norma inducida por un producto interno es:
$$\begin{align}&||v|| = \sqrt{\lt v, v\gt}\\ &\\ &Entonces\\ &\\ &||x+y||^2+||x-y||^2 = \lt x+y,x+y>+\lt x-y,x-y\gt=\\ &\\ &\text{por propiedades del producto interno}\\ &\\ &\lt x,x\gt+\lt x,y\gt+\lt y,x\gt+\lt y,y\gt+\\ &\\ &\lt x,x\gt-\lt x,y\gt-\lt y,x\gt+\lt y,y\gt=\\ &\\ &2\lt x,x\gt+2\lt y,y\gt=2||x||^2+2||y||^2\end{align}$$Luego se cumple la ley del paralelogramo si la norma viene de un producto interno, como la norma que nos dicen no cumple la ley del paralelogramo, no procede de un producto interno.
Y eso es todo.
