Estadística matemática con aplicaciones 5.69

5.69)

a) Cuando dos variables son independientes, la función de densidad conjunta es el producto de las funciones de densidad marginal.

$$\begin{align}&f(y_1, y_2)=f_1(y_1)·f_2(y_2) = \\ &\\ &\left(\frac 13 e^{-y_1/3}\right)\left(\frac 13 e^{-y_2/3}\right)= \frac 19 e^{-(y_1+y_2)/3}\end{align}$$

para y1, y2 >= 0; 0 en el resto.

b) Hay que hallar la integral de esa función de densidad en el dominio donde Y1+Y2 <=1

Entonces haremos variar Y1 en [0,1] e Y2 en [1-Y1, 1]

$$\begin{align}&P(Y1+Y2 \le 1)=\int_0^1\int_0^{1-y_1} \frac 19 e^{-(y_1+y_2)/3}dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac 19\int_0^1 -3\left[e^{-(y_1+y_2)/3}  \right]_0^{1-y_1}dy_1=\\ &\\ &\\ &\\ &-\frac 13 \int_0^1 (e^{-1/3}-e^{-y_1/3})dy_1=\\ &\\ &\\ &-\frac 13 \left[y_1e^{-1/3}+3e^{-y_1/3}  \right]_0^1=\\ &\\ &-\frac 13 (e^{-1/3}+3e^{-1/3}-3) =1-\frac{4e^{-1/3}}{3}\approx0.04462491923\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.