Estadística matemática con aplicaciones 5.49

5.49)

Habrá que usar el teorema 5.4. Que son independientes si y solo si la función de densidad conjunta es el producto de las marginales.

Recordar que dado y1 los límites de integración para y2 son [0, y1]

Mientras que dado y2, los límites de integración para y1 son [y2, 1]

Eso se ve muy claro si haces el dibujo donde la zona válida es el triángulo por debajo de la diagonal pasando por el origen.

$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_0^{y_1}3y_1dy_2 =[3y_1y_2]_0^{y_1}=3y_1^2\\ &\\ &f_2(y_2)=\int_{y_2}^1 3y_1dy_1 =\left[\frac{3y_1^2}{2} \right]_{y_2}^1= \frac 32(1-y_2^2)\\ &\\ &\\ &f_1(y_1)·f_2(y_2)=\frac 92y_1^2(1-y_2^2)\neq 3y_1=f(y_1,y_2)\end{align}$$

Luego no son independientes, por tanto son dependientes que es lo que no decían que demostráramos.

Y eso es todo.