Determinar si 2x^2+3x-1 a gen(por^2+4x, por+2, 2x^2-3x+5)

Supongo que quieres decir determinar si el polinomio 2x^2+3x-1 es generado por los polinomios x^2+4x, x+2, 2x^2-3x+5

Deben existir números reales a, b, c tales que

a(x^2+4x) + b(x+2) + c(2x^2-3x+5) = 2x^2+3x-1

ax^2 + 4ax + bx + 2b + 2cx^2 - 3cx + 5c = 2x^2 + 3x - 1

(a+2c)x^2 + (4a+b-3c)x + (2b+5c) = 2x^2 + 3x - 1

Esto es una igualdad de polinomios, luego los tres coeficientes correspondientes deben ser iguales. Eso supone estas tres ecuaciones.

a+2c = 2

4a+b-3c = 3

2b+5c = -1

Y ahora depende de si la pregunta es determinar si lo generan o calcular a, b y c. Para lo primero basta con probar que el sistema es compatible. Haré lo segundo que es más completo

1  0  2| 2    1  0   2| 2    1  0   2| 2
4  1 -3| 3 ~  0  1 -11|-5 ~  0  1 -11|-5  
0 2 5|-1 0 2 5|-1 0 0 27| 9

Con eso ya es suficiente, el determinante es 27 y es probaría que hay solución única, luego el polinomio es generado por los otros tres.

Si queremos calcular los coeficientes podemos continuar.

La última dice

27c = 9

c = 9/27 = 1/3

Vamos a la segunda con ese valor

b - 11/3 = -5

b = -5 + 11/3 = (-15+11)/3 = -4/3

Y con el valor de c=1/3 vamos también a la primera

a +2/3 = 2

a = 2-2/3 = (6-2)/3 = 4/3

Luego los coeficientes son

a=4/3

b=-4/3

c=1/3

Nunca está de más el probarlo por si lo hicimos mal

(4/3)(x^2+4x) - (4/3)(x+2) + (1/3)(2x^2-3x+5) =

(4/3+2/3)x^2 +(16/3-4/3-3/3)x +(-8/3+5/3) =

2x^2 + 3x +1

Está bien.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya está bien no olvides puntuar par poder hacer más preguntas.