Conjuntos linealmente dependendientes

Supongo que quieren que lo demuestres por definición, porque si no ya sabemos que R^2 tiene dimensión 2 y todo conjuntos de más de dos vectores es linealmente dependiente.

v1 = (x1,y1)

v2 = (x2,y2)

v3 = (x3,y3)

Sea

a(x1, y1) + b(x2,y2) = (x3,y3)

se deducen estas dos ecuaciones

ax1 + bx2 = x3

ay1 + by2 = y3

Si v1 y v2 son linealmente dependientes ya está, y si no lo son

Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas a y b con el deteminante de la matriz

X1 x2

Y1 y2

Distinto de cero (por ser independientes v1 y v2

Entonces ese sistema tiene una solución única para a y b, con lo cual se cumple

a(x1, y1) + b(x2,y2) = (x3,y3)

Además alguno de a o b es distinto de 0 porque si no sería (x3, y3)=(0,0)

Luego v3 es combinación lineal de v1 y v2.

Y eso es todo.