Conjuntos linealmente dependendientes
Sean v_1, v_2, v_3, vectores distintos de cero en R^2, demuestra que son I. D.
1 Respuesta
Supongo que quieren que lo demuestres por definición, porque si no ya sabemos que R^2 tiene dimensión 2 y todo conjuntos de más de dos vectores es linealmente dependiente.
v1 = (x1,y1)
v2 = (x2,y2)
v3 = (x3,y3)
Sea
a(x1, y1) + b(x2,y2) = (x3,y3)
se deducen estas dos ecuaciones
ax1 + bx2 = x3
ay1 + by2 = y3
Si v1 y v2 son linealmente dependientes ya está, y si no lo son
Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas a y b con el deteminante de la matriz
X1 x2
Y1 y2
Distinto de cero (por ser independientes v1 y v2
Entonces ese sistema tiene una solución única para a y b, con lo cual se cumple
a(x1, y1) + b(x2,y2) = (x3,y3)
Además alguno de a o b es distinto de 0 porque si no sería (x3, y3)=(0,0)
Luego v3 es combinación lineal de v1 y v2.
Y eso es todo.
