Problema sobre existencia de un tirangulo

Como ya te decía, es importante saber que geometría estas dando porque hay muchas.

$$\begin{align}&\overline{BE}=10\,sen\, 2\alpha\\ &\overline{AE}=10\,\cos\,2\alpha\\ &\\ &\beta= \frac{180-3\alpha}{2}=90º-\frac{3\alpha}{2}\\ &\\ &\widehat{EBD}=\beta-\widehat{ABE}=90º-\frac{3\alpha}{2}-(90º-2\alpha)= \frac{\alpha}{2}\\ &\\ &\\ &\overline{BD}=\frac{\overline{BE}}{\cos \frac {\alpha}{2}}\\ &\\ &\overline{ED}= \overline{BD}sen \frac{\alpha}{2}=\overline{BE}·tg \frac{\alpha}{2} = 10 sen 2\alpha·tg \frac{\alpha}{2}\\ &\\ &\\ &\overline{BC}=\frac{\overline{BE}}{\cos \left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}\\ &\\ &\\ &\overline{EC}=\overline{BC}·sen \left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right) =\overline{BE}·tg \left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)=\\ &\\ &=10sen 2\alpha·tg \left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)\\ &\\ &\\ &\\ &\overline{DC}=\overline{EC}-\overline{ED}=10 sen 2\alpha \left[ (tg \left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)- tg \frac{\alpha}{2}\right]\\ &\\ &\text{Como }\beta= 90-\frac{3\alpha}{2} \implies \beta+\frac{\alpha}{2}=90º-\alpha\\ &\\ &\text{Y la tangente de ángulos complemetarios es inversa}\\ &\\ &\overline{DC}=20sen \alpha·\cos \alpha \left(\frac{\cos \alpha}{sen \alpha}- tg \frac{\alpha}{2} \right)=\\ &\\ &20cos^2\alpha-20sen \alpha·\cos \alpha·tg \frac{\alpha}{2}\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Con esto es suficiente.

El ángulo alfa puede variar entre 0 y 60º porque 3alfa <=180º

En ese intervalo el seno, coseno y tangente de alfa/2 son positivos

Se compone de la suma dos funciones. El coseno cuadrado tiene el máximo en alfa =0 y la otra función que resta (resta de verdad porque el producto es positivo tiene su mínimo en alfa =0 donde vale 0.

Luego el máximo valor es en alfa =0

Max CD = 20·cos^2(0) = 20

Lo que pasa es que con alfa=0 no hay triángulo propio, es preciso que sea un poco superior a cero para que haya triángulo. Y nada más que alfa>0 ==> CD < 20.

Luego el máximo valor entero que puede tomar es 19. Por si acaso argumenta lo que te he dicho, no sea que admitan el triángulo impropio y entonces digan que es 20.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Y si había un método más fácil dímelo también.

Ay, que se me olvidó el triángulo, aquí está:

Ahora se entenderá el desarrollo. Eso espero.

si es un poco largo el procedimiento , e intentado resolverlo de una manera mas simplificadada el procedimiento (no se si esta bien ) corrígeme si es que me he equivocado

aplico la ley de senos

AB / Sen (alfa) = BC / Sen (2alfa)

10/ Sen (alfa) = BC / 2 *sen (alfa)*cos (alfa)

20 *cos(alfa) =BC

luego

-1 <= Cos (alfa) <=1

-20<=20*cos (alfa)<=20

-20<=BC<=20

BC<=20..(i)

ahora "a mayor angulo mayor lado " en el triangulo BDC el angulo D mide 2 alfa + beta

y el angulo B mide beta

entonces DC<BC ..(ii)

luego resuelvo la inecuación i y ii y también sale lo mismo que es 19

Pues está perfecto, mucho más fácil así. Yo también intenté hacerlo con el teorema de los senos, pero todos mis afanes estaban encaminados a encontrar la expresión exacta de la distancia DC y eso no era fácil.

Si utilizáis un libro dímelo para ver si lo puedo encontrar en internet. De geometría ando algo flojo. No sé porque los profes que tuve se saltaban esos capítulos del libro todos los años en el colegio.