Si (u, v ) generan un plano, entonces la matriz que tiene por columnas u, v y x
Hola !! Me explicas con un ejemplo la afirmación si V o F
si (u , v) generan un plano, entonces la matriz que tiene por columnas u, v y x (vector genérico de R3) tiene rango 3
Saludos!!
1 Respuesta
Es verdadero.
El rango de una matriz es el mismo que el de su transpuesta, asi que mejor vamos a hacerlo con la matriz que tiene x, u y v por filas.
Esta matriz tendrá rango 3 si el determinante es distinto de cero.
El determinante será cero si alguna fila es combinación lineal de las otras.
Las combinaciones lineales del vector genérico con un vector numérico no pueden dar otro numérico y las de dos numéricos no pueden un genérico, luego la única forma de que uno sea combinación lineal de los otros es que un vector numérico se proporcional al otro. Pero u y v no son proporcionales, ya que si lo fueran no generarían un plano. Luego es imposible hacer una fila como combinación de las otras y le determinante será no nulo y el rango será 3.
Y eso es todo.
no entiendo esto si < u, v > generan un plano, entonces la matriz que tiene por columnas u, v y x (vector genérico de R3) tiene rango 3
u es por ejemplo u= (1,2,3), v=(2,1,1) y x =(x,y,z) vector genérico
entonces tendría una matriz con columnas
1 2 x
2 1 y
3 1 z
1 2 x
0 -3 y-2x
0 -5 z-3x
1 2 x
0 -3 y-2x
0 1 (z-2x):-5
al resolverlo obtengo un plano, esta bien lo que yo interpreto? Saludos
El ultimo paso no lo diste bien, queda así:
1 2 x 0 -3 y-2x 0 0 z-3x-(5/3)(y-2x)
Y el determinante sería
-3[z-3x - 5y/3 + 10x/3] = 0
-3z + 9x + 5y -10x = 0
-x+5y -3z = 0
Que es la ecuación de un plano que pasa por (0,0,0)
El producto mixto de tres vectores, que es el producto escalar del primero por el vector que es el producto vectorial de los segundos y todo ello igualado a cero se corresponde con la ecuación de un plano. Ya que los vectores del plano tienen producto escalar cero con el vector director del plano y el vector director se ha creado como producto vectorial de dos vectores del plano.
Y el producto mixto de tres vectores es el determinante de ellos, lo mismo da que se pongan el filas que en columnas porque el determinante es el mismo. Luego sí, la operación que has hecho con ese determinante sirve para calcular la ecuación del plano generado por esos dos vectores.
Y eso es todo.
