Funciones Contractivas, Continuidad y Teorema de Punto Fijo
Definición: Sea (M,p) un espacio métrico completo. Una función f:M--->M se dice contractiva, si y solo si, existe un número real L, positivo y menor que uno, tal que p(f(x),f(y)) < Lp(x,y).
Al tomar como base este concepto, responda la siguiente pregunta:
Sea el espacio M = [(a/2)^(1/2),oo] con la métrica d(x,y) = |y - x|. Pruebe que la función
f(x) = 1/2(x + (a/x)) es una contracción y encuentre el punto fijo.
.
1 Respuesta
Debemos demostrar que para todo par de valores x, y € M existe un 0< L < 1 tal que
|(1/2)(y + a/y) - (1/2)(x + a/x)| < L|y-x|
No lo dice el enunciado, pero si el espacio es
M=[(a/2)^(1/2), oo]
se supone que a es positiva y también lo serán x, y
$$\left|\frac 12\left(y + \frac ay\right) - \frac 12\left(x + \frac ax\right)\right|=\\ \\ \frac 12\left|\frac {y^2+a}{y} - \frac{x^2+a}{x}\right|=\\ \\ \frac 12\left|\frac{xy^2+ax-x^2y-ay}{xy} \right|$$No, por ahí no vamos a llegar a nada. Se me está haciendo más difícil de lo que creo deba ser. Cuando haya hecho otras faenas que debo hacer continuaré a ver si doy con la respuesta.
Espera mientras tanto.
Recuerdo que las condiciones dicen
0 >= a
x >= sqrt(a/2)
y >= sqrt(a/2)
y de ello se deduce también
x, y> 0 ya que si no no está definida f
Si a=0 tenemos
f(x) = x/2
|f(y) - f(x)| = |y/2 - x/2| = (1/2) |y-x| < L|y-x|
1/2 < L
luego cualquier L € (1/2, 1) sirve
Si a>0
$$\begin{align}&\left|\frac 12\left(y + \frac ay\right) - \frac 12\left(x + \frac ax\right)\right|=\\ &\\ &\frac 12\left|y-x+a\left(\frac 1y-\frac 1x \right) \right|=\\ &\\ &\frac 12\left|y-x+a\left(\frac{x-y}{xy} \right) \right|=\\ &\\ &\frac 12\left|y-x-\frac{a}{xy}(y-x) \right|=\\ &\\ &\frac 12\left|\left(1-\frac{a}{xy}\right)(y-x) \right|=\\ &\\ &\frac 12 \left|1-\frac{a}{xy} \right|·\left|y-x \right|\\ &\\ &\text{Como }x,y\ge \sqrt{\frac a2}\\ &\\ &xy\ge \sqrt{\frac a2} \sqrt{\frac a2}=\frac a2\\ &\\ &\text{como }a\neq 0\\ &\\ &\frac 1{xy}\le \frac 2a\\ &\\ &\text {como }a\gt0\\ &\\ &\frac a{xy}\le 2\\ &\\ &-\frac a{xy}\ge -2\\ &\\ &1-\frac a{xy}\ge 1-2\\ &\\ &1-\frac a{xy}\ge -1\\ &\\ &\text{y como } a,x,y\gt0\implies \\ &\\ &\frac{a}{xy}>0\implies 1-\frac{a}{xy}\lt1\\ &\\ &\text{juntando las dos desigualdades}\\ &\\ &-1\le 1-\frac a{xy}\lt 1\implies \left|1-\frac{a}{xy} \right|\le 1\\ &\\ &\text{Volvemos a la igualdad que dejábamos arriba}\\ &\\ &\left|\frac 12\left(y + \frac ay\right) - \frac 12\left(x + \frac ax\right)\right|=\\ &\\ &\frac 12 \left|1-\frac{a}{xy} \right|·\left|y-x \right|\le\\ &\\ &\frac 12·1·|y-x|=\frac 12|y-x|\lt L|y-x|\implies\\ &\\ &\frac 12 \le L\end{align}$$Luego lo mismo que en el caso a=0 tomando cualquier L€(1/2, 1) sirve para demostrás que la función es contractiva.
Y el punto fijo se puede calcular simplemente mediante la ecuación
x=(1/2)(x+ a/x)
2x = x +a/x
x = a/x
x^2 = a
como x>0 solo sirva la raíz positiva
x = sqrt(a)
Ese es el punto fijo.
Y eos es todo.
