Demostración por la Contra reciproca

El enunciado no está bien, esto no se puede demostrar por contrareciproca, en todo caso por inducción.

Por contrareciproca se demuestran implicaciones. En vez de demostrar

a ==> b

se demuestra

no b ==> no a

Por inducción se demuestra así

Primero comprobamos que se cumple para n=1

1^3 = 1^2

1=1

Ahora suponemos que se cumple para n y veamos que se cumple para n+1

1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3 =

(1+2+ 3+ …+n)^2 + (n+1)^3 =

(1+2+3+ ... +n)^2 + (n+1)(n+1)^2 =

(1+2+3+ ... +n)^2 + n(n+1)^2 + (n+1)^2 =

(1+2+3+ ... +n)^2 + 2[n(n+1)^2]/2 + (n+1)^2 =

Y ahora hay que recordar la< fórmula de la suma de una sucesión aritmética

1+2+3+...+n = n(n+1) / 2

con lo cual la igualdad anterior será

= (1+2+3+ ... +n)^2 + 2 (1+2+3+...+n)(n+1) + (n+1)^2 =

que es el cuadrado de un binomio

= [1+2+3+ ...+n+(n+1)]^2

Luego lá formula se cumple para n+1, con ello queda demostrada la inducción.

Y eso es todo.