Como resuelvo las siguientes ecuaciones?

Son tres incógnitas y solo dos ecuaciones, luego no habrá una sola respuesta sino infinitas siguiendo un determinado patrón. Veamos que se puede hacer.

Si tomamos x como parámetro, llamémosle t que es lo habitual

y^2 + z^2 = t^2
-y^2 + 9z^2 = 9-9t^2

sumándolas

10z^2 = 9-8t^2

z = +- sqrt[(9-8t^2) / 10]

sustituyendo en la primera

y^2 = t^2 - (9-8t^2)/10 = (18t^2-9) / 10

y = +-sqrt [(18t^2-9) / 10]

Luego la intersección es la curva con estas ecuaciones paramétricas:

$$\begin{align}&x=t\\ &\\ &y=\pm \sqrt{\frac{18t^2-9}{10}}\\ &\\ &z=\pm \sqrt{\frac{9-8t^2}{10}}\end{align}$$

Si lo que te piden es algo distinto, concrétamelo más.