Estadística matemática con aplicaciones 5.38

5.38)

Si hacemos el gráfico del dominio donde las variables tienen probabilidad no nula veremos que es un triangulo rectángulo por debajo de la diagonal que pasa por el origen con base en el eje X+ y altura uno.

Como Y1 tiene distribución uniforme, significa que cada franja vertical infinitamente fina tiene la misma probabilidad. Estas franjas verticales comienzan midiendo cero y terminan midiendo uno, pero tienen la misma probabilidad. Además, Y2 también distribuida uniformemente dentro de cada franja.

Para que franjas de distinta altura tengan la misma probabilidad la función de densidad tiene que ser inversamente proporcional a la altura. La altura es y1 por ser un triangulo rectángulo de 45º.

Vamos a probar con una función de densidad

f(y1, y2) = k / (y1) para 0 <= y2 <= y1 <= 1

La k deberemos ajustarla para que la probabilidad total sea 1

$$\begin{align}&1=k\int_0^1\int_0^{y_1}\frac{1}{y_1}dy_2dy_1=\\ &\\ &k\int_0^1\left[ \frac{y_2}{y_1} \right]_0^{y_1}dy_1=k\int_0^1 dy_1=k\end{align}$$

Luego k=1 y la función de densidad conjunta definitiva es:

f(y1,y2) = 1 / (y1) para 0 <= y2 <= y1 <= 1; 0 en el resto

Veamos que cumple las condiciones que dice el enunciado, que Y1 tiene función de densidad constante en [0,1] y que Y2 también la tiene dado un valor de y1 de Y1

$$\begin{align}&f_1(y_1) = \int_0^{y_1}\frac{dy_2}{y_1}=\left[ \frac{y_2}{y_1}\right]_0^{y_1}=1\\ &\\ &\\ &f(y_2|y_1) =\frac{f(y_1,y_2)}{f_1(y_1)}= \frac{1}{y_1}\end{align}$$

b) Es la probabilidad de vender mas de un cuarto condicionada a que la existencia semanal es medio kilo.

$$\begin{align}&P(Y2>=1/4 |Y1=1/2)=\int_{1/4}^{1/2}f(y2|y1=1/2)dy_2=\\ &\\ &\text{en el apartado anterior ya calculamos }p(y_2|y_1)\\ &\\ &=\int_{1/4}^{1/2}1/(1/2)dy_2= \int_{1/4}^{1/2}2dy_2=\\ &\\ &\left[  2y_2\right]_{1/4}^{1/2}=1-\frac 12 = \frac 12\end{align}$$

c) Lo que nos piden es el miembro izquierdo, que por definición es lo que pone a la derecha

P(Y1>=1/2 | Y2>=1/4) = P(Y1>=1/2; Y2>=1/4) / P(Y2>=1/4)

$$\begin{align}&P(Y_1\ge1/2, Y_2\ge1/4)=\int_{1/2}^1\int_{1/4}^{y_1}\frac{1}{y_1}dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{1/2}^1\left[ \frac{y_2}{y_1} \right]_{1/4}^{y1}dy_1=\int_{1/2}^1\left(1-\frac{1}{4y_1}\right)dy_1=\\ &\\ &\left[ y_1-\frac{ln\, y_1}{4} \right]_{1/2}^{1}= 1-\frac 12+\frac{ln\, 0.5}{4} \approx 0.3267132\\ &\\ &P(Y2\ge 1/4) = \int_{1/4}^1\int_{1/4}^{y_1}\frac{1}{y_1}dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_{1/4}^1\left[ \frac{y_2}{y_1} \right]_{1/4}^{y1}dy_1=\int_{1/4}^1\left(1-\frac{1}{4y_1}\right)dy_1=\\ &\\ &\left[ y_1-\frac{ln\, y_1}{4} \right]_{1/4}^{1}= 1-\frac 14+\frac{ln\, 0.25}{4} \approx 0.4034264\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Luego

P(Y1>=1/2 | Y2>=1/4) = 0.3267132 / 0.4034264 = 0.8098458

Y eso es todo.