Solución ejercicio 14 pagina 337

Veamos

$$\begin{align}&\iint_D f(x)g(y)dxdy=\\ &\\ &\int_a^b\int_{\varPhi_1(x)}^{\varPhi_2(x)}f(x)g(y)dydx=\\ &\\ &\int_a^b f(x)\int_{\varPhi_1(x)}^{\varPhi_2(x)}g(y)dydx=\\ &\\ &\end{align}$$

no puede deducirse nada de lo que dice el ejercicio, ahora va a quedar f(x) multiplicado por una función desconocida de x y la integral puede ser cualquier cosa. Antes si pudo hacerse porque la integral respecto de y era una cantidad constante y salia fuera de la integral, pero ahora no porque la integral respecto de y es una función de x

Veamos un ejemplo sencillo

$$\begin{align}&\int_0^1\int_0^xxy\;dydx=\\ &\\ &\int_0^1 x\left. \frac{y^2}{2}\right|_0^xdx= \int_0^1 \frac {x^3}{2}dx = \\ &\\ &\left. \frac{x^4}{8}\right|_0^1 = \frac 18\\ &\\ &\text{y el otro lado de la igualdad es}\\ &\\ &\varPhi_1(x)=0\implies \varPhi_1(1)=0\\ &\varPhi_2(x)=x\implies \varphi_2(0) = 0\\ &\left(\int_0^1xdx\right)\left(\int_0^0y dy  \right)=0\\ &\\ &\text{Aun suponiendo que se equivocaron y fuera}\\ &\iint_Df(x)g(y)dxdy=\left(\int_a^b f(x)dx   \right)  \left(\int_{\varPhi_1(a)}^{\varPhi_2(b)}g(y)dy  \right)\\ &\\ &tendríamos\\ &\\ &\varPhi_1(x)=0\implies \varPhi_1(0)=0\\ &\varPhi_2(x)=x\implies \varphi_2(1) = 1\\ &\left(\int_0^1xdx\right)\left(\int_0^1y dy  \right)=0\\ &\\ &\left(\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1\right)\left(\left.\frac{y^2}{2}\right|_0^1\right)=\frac 12·\frac 12 = \frac 14\end{align}$$

Y no se cumple la igualdad de ninguna de las dos formas.

Y eso es todo.